Просмотр кода страницы Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

'''Тождество Брахмагупты — Фибоначчи''', называемое также '''тождеством Брахмагупты '''или '''тождеством Диофанта'''<ref>{{Cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/BrahmaguptaFibonacci.shtml |title=Brahmagupta-Fibonacci Identity<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2020-08-11 |archive-date=2020-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201231074448/https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/BrahmaguptaFibonacci.shtml |deadlink=no }}</ref><ref>Marc Chamberland: ''Single Digits: In Praise of Small Numbers''. Princeton University Press, 2015, {{ISBN|9781400865697}}, p. 60</ref><ref name=stillwell2>{{Harvnb|Stillwell|2002|p =76}}</ref><ref>[[Шенкс, Дэниел]], Solved and unsolved problems in number theory, p.209, American Mathematical Society, Fourth edition 1993.</ref> — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):
:<math>\begin{align}
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 & & (1) \\
                                             & {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2. & & (2)
\end{align}</math>

В терминах [[Общая алгебра|общей алгебры]], это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов [[Замыкание (алгебра)|''замкнуто'']] ''относительно умножения''.

Пример: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

== История ==
Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. [[Диофант Александрийский|Диофантом Александрийским]] в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). [[История математики в Индии|Индийский математик]] и [[Индийская астрономия|астроном]] [[Брахмагупта]] в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр <math>n</math>:
: <math>\begin{align}
\left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 & & (3) \\
                                               & {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2. & & (4)
\end{align}</math>
Брахмагупта описал тождество в трактате {{iw|Брахма-спхута-сиддханта|«Брахма-спхута-сиддханта»| |Brāhmasphuṭasiddhānta}} («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения [[Уравнение Пелля|уравнения Пелля]] ([[Тождество Брахмагупты — Фибоначчи#Применения|ниже]])

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (''Liber quadratorum'') [[Фибоначчи]] (1225 год).

== Комплексное представление ==
Пусть <math>a+bi,c+di</math> — [[Комплексное число|комплексные числа]]. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству [[Комплексный модуль|комплексного модуля]]:
: <math>  | a+bi | \cdot | c+di | = | (a+bi)(c+di) | .</math>
В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:
:<math>  | a+bi |^2 \cdot | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,</math>
или согласно определению модуля:
:<math>  (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. </math>

== Применения ==

=== Решение уравнения Пелля ===
Как уже говорилось [[Тождество Брахмагупты — Фибоначчи#История|выше]], Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении [[Уравнение Пелля|уравнения Пелля]]{{sfn |История математики, том I|1970|с=195|name=JUSH195}}:
: <math>x^2-n y^2=1,</math>
где <math>n</math> — [[натуральные числа|натуральное число]], не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде<ref name=JUSH195/>:
:<math>(x_1^2 - Ay_1^2)(x_2^2 - Ay_2^2) = (x_1x_2 + Ay_1y_2)^2 - A(x_1y_2 + x_2y_1)^2, </math>
Отсюда видно, что если тройки <math>x_1,y_1,k_1</math> и <math>x_2,y_2,k_2</math> образуют решение уравнения ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''Ay''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''k'', то можно найти ещё одну тройку
: <math>(x_1x_2 + Ay_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2)</math>
и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году [[Бхаскара II|Бхаскарой II]] ([[метод «чакравала»]]), также опирается на тождество Брахмагупты.

=== Разложение целого числа на сумму двух квадратов ===
В сочетании с [[Теорема Ферма — Эйлера|теоремой Ферма — Эйлера]], тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество [[Простое число|простых чисел]] вида <math>4m+1</math> представимо в виде суммы квадратов.

== Вариации и обобщения ==
Изначально тождество применялось к [[Целое число|целым числам]], однако оно справедливо в любом [[коммутативное кольцо|коммутативном кольце]] или в [[Поле (алгебра)|поле]], например, в [[Кольцо многочленов|кольце многочленов]] или в поле [[Комплексное число|комплексных чисел]].

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай [[Тождество четырёх квадратов|тождества четырёх квадратов]] [[Эйлер, Леонард|Эйлера]] или {{iw|Тождество Лагранжа (теория чисел)|тождества Лагранжа (теория чисел)||Lagrange's identity}}. Тождество четырёх квадратов применимо также к [[кватернион]]ам, а аналогичное [[тождество восьми квадратов]] — к [[Алгебра Кэли|октонионам]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
  |заглавие=История математики |том=I |ref=История математики, том I |место=М. |издательство=Наука |год=1970
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах}}
* {{citation | last=Joseph | first=George G. | author-link=George G. Joseph | year=2000 | title=The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics | edition=2nd | publisher=[[Princeton University Press]] | page=306 | isbn=978-0-691-00659-8 | url={{Google books|c-xT0KNJp0cC|plainurl=yes}}}}<!-- Google books links to the 3rd edition. -->
* {{citation | last=Stillwell | first=John | author-link = John Stillwell | year=2002 | title = Mathematics and its history | edition=2nd | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=978-0-387-95336-6 | pages=72–76 | url={{Google books|WNjRrqTm62QC|page=72|plainurl=yes}}}}

== Ссылки ==
* [http://planetmath.org/SumsOfTwoSquares Brahmagupta's identity at [[PlanetMath]]] {{ref-en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html Brahmagupta Identity] on [[MathWorld]] {{ref-en}}
* [http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/  A Collection of Algebraic Identities] {{ref-en}}

{{ВС}}

[[Категория:Брахмагупта]]
[[Категория:Тождества]]
[[Категория:Элементарная алгебра]]
[[Категория:Диофантовы уравнения]]