Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

$\begin{array}{cccc}(a^2+b^2)(c^2+d^2)& ={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2& & (1)\\ & ={(ac+bd)}^2+{(ad-bc)}^2.& & (2)\end{array}$

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример: $(1^2+4^2)(2^2+7^2)=26^2+15^2=30^2+1^2.$

История

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр $n$:

$\begin{array}{cccc}(a^2+n{b}^2)(c^2+n{d}^2)& ={(ac-nbd)}^2+n{(ad+bc)}^2& & (3)\\ & ={(ac+nbd)}^2+n{(ad-bc)}^2.& & (4)\end{array}$

Брахмагупта описал тождество в трактате Шаблон:Iw («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представление

Пусть $a+bi,c+di$ — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

$|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.$

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

$|a+bi{|}^2\cdot |c+di{|}^2=|(ac-bd)+i(ad+bc){|}^2,$

или согласно определению модуля:

$(a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$

Применения

Решение уравнения Пелля

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения ПелляШаблон:Sfn:

$x^2-n{y}^2=1,$

где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде:

$(x_1^2-A{y}_1^2)(x_2^2-A{y}_2^2)=(x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2{)}^2-A(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2,$

Отсюда видно, что если тройки $x_1,y_1,k_1$ и $x_2,y_2,k_2$ образуют решение уравнения x² − Ay² = k, то можно найти ещё одну тройку

$(x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1,k_1{k}_2)$

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида $4m+1$ представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщения

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или Шаблон:Iw. Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Brahmagupta's identity at PlanetMath Шаблон:Ref-en
• Brahmagupta Identity on MathWorld Шаблон:Ref-en
• A Collection of Algebraic Identities Шаблон:Ref-en