Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит:

Шаблон:Рамка Любое простое число $p=4n+1$, где $n$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Иначе говоря,

$p\in \mathbb{P},p=4n+1,n\in \mathbb{N}\Rightarrow p=x^2+y^2,$

где $p$ — простое число. Шаблон:Конец рамки

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

$5=1^2+2^2$, $13=2^2+3^2$, $17=1^2+4^2$, $29=2^2+5^2$, $37=1^2+6^2$, $41=4^2+5^2$.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Шаблон:Рамка Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида $4k+3$ не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени. Шаблон:Конец рамки

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром:

Инволюция конечного множества $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{N}}^3:x^2+4yz=p\}$, определённая как

$(x,y,z)\to \{\begin{array}{cc}(x+2z,z,y-x-z),& x<y-z\\ (2y-x,y,x-y+z),& y-z<x<2y\\ (x-2y,x-y+z,y),& x>2y\end{array}$

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна $(1,1,k)$, если $p=4k+1$, и единственность которой следует из простоты $p$), так что $S$ содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция $(x,y,z)\to (x,z,y)$ также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.