Просмотр кода страницы Точки Лагранжа

[[Файл:Lagrange points2.svg|thumb|250px|Точки Лагранжа и эквипотенциальные поверхности системы двух тел (с учётом центробежного потенциала)]]
'''Точки Лагра́нжа''', '''точки либра́ции''' ({{lang-la|librātiō}} — раскачивание) или '''L-точки''' — [[Точка (геометрия)|точки]] в системе из двух [[масса|массивных]] тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействия никаких других [[Сила|сил]], кроме [[гравитация|гравитационных]] со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ''ограниченной [[задача трёх тел|задачи трёх тел]]'' — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего [[центр масс|центра масс]] с постоянной [[Угловая скорость|угловой скоростью]]. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются [[центробежная сила|центробежной силой]].

Точки Лагранжа получили своё название в честь [[математик]]а [[Лагранж, Жозеф Луи|Жозефа Луи Лагранжа]], который первым<ref name="gallica.bnf.fr">{{Книга |ref=Lagrange |ссылка=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j/f231.image.r=Oeuvres+de+Lagrange.langFR |автор=[[Лагранж, Жозеф Луи|Lagrange, Joseph-Louis]] |заглавие=Oeuvres de Lagrange |часть=Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps |язык=fr |издательство=Gauthier-Villars |страницы=229—334 |archive-date=2020-05-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200513070532/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j/f231.image.r=Oeuvres+de+Lagrange.langFR }}</ref> в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

== Расположение точек Лагранжа ==
[[Файл:Lagrange very massive.svg|thumb|300px|Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). Здесь точки L{{sub|4}}, L{{sub|5}} показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться внутри неё]]
[[Файл:Lagrangianpointsanimated.gif|thumb|300px]]

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от{{nbsp}}1 до{{nbsp}}5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются ''коллинеарными'' и обозначаются L{{sub|1}}, L{{sub|2}} и L{{sub|3}}. Точки L{{sub|4}} и L{{sub|5}} называются треугольными или троянскими. Точки L{{sub|1}}, L{{sub|2}}, L{{sub|3}} являются точками неустойчивого равновесия, в точках L{{sub|4}} и L{{sub|5}} равновесие устойчивое.

L{{sub|1}} находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу; L{{sub|2}} — снаружи, за менее массивным телом; и L{{sub|3}} — за более массивным. В системе координат с началом отсчёта в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в первом приближении по {{math|α}} рассчитываются с помощью следующих формул<ref>{{Cite web|author=Widnall S. |url=https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec18.pdf |title=Lecture L-18 - Exploring the Neighborhood: the Restricted Three-Body Problem  |access-date=2020-03-08 |archive-date=2020-11-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201112022641/https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec18.pdf |url-status=live }}</ref>:

: <math> r_1 =  \left ( R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right ) </math>
: <math> r_2 =  \left ( R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right ) </math>
: <math> r_3 =  \left ( -R \left[ 1 + \frac{5}{12} \alpha  \right], 0 \right ) </math>

где <math> \alpha = \frac{M_2}{M_1+M_2} </math>,
: {{math|''R''}} — расстояние между телами,
: {{math|''M''{{sub|1}}}} — масса более массивного тела,
: {{math|''M''{{sub|2}}}} — масса второго тела.

=== L{{sub|1}} ===
Точка L{{sub|1}} лежит на прямой, соединяющей два тела с массами {{math|''M''{{sub|1}}}} и {{math|''M''{{sub|2}}}} ({{math|''M''{{sub|1}}}} > {{math|''M''{{sub|2}}}}), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела {{math|''M''{{sub|2}}}} частично компенсирует гравитацию тела {{math|''M''{{sub|1}}}}. При этом чем больше {{math|''M''{{sub|2}}}}, тем дальше от него будет располагаться эта точка.

: '''Пример:''' Объекты, которые движутся вокруг [[Солнце|Солнца]] ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L{{sub|1}} — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L{{sub|1}} составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь ({{num|118|мкм/с²}}) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли ({{num|116|мкм/с²}}), тогда как снижение требуемой [[Центростремительная сила|центростремительной силы]] вдвое меньше ({{num|59|мкм/с²}}). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также {{num|177|мкм/с²}}.

==== Использование ====
В системе Солнце — [[Земля]] точка L{{sub|1}} может быть идеальным местом для размещения [[Астрономический спутник|космической обсерватории]] для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный 12 августа 1978 года аппарат [[Международный исследователь комет|{{lang-en2|ISEE-3}}]]. Аппарат вышел на периодическую [[гало-орбита|гало-орбиту]] вокруг этой точки 20 ноября 1978 года<ref name="nasa_sse">[https://solarsystem.nasa.gov/missions/profile.cfm?MCode=ISEEICE ISEE-3/ICE profile] {{Wayback|url=https://solarsystem.nasa.gov/missions/profile.cfm?MCode=ISEEICE |date=20150720021218 }} by NASA Solar System Exploration</ref> и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач)<ref>{{Cite web |url=http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraftDisplay.do?id=1978-079A |title=NSSDC Master Catalog: ISEE{{nbsp}}3{{nbsp}}/ ICE |access-date=2015-08-06 |archive-date=2014-08-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140820131559/http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraftDisplay.do?id=1978-079A |url-status=live }}</ref>. На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат [[SOHO (космический аппарат)|SOHO]]. Аппараты [[Advanced Composition Explorer|ACE]], [[GGS WIND|WIND]] и [[Deep Space Climate Observatory|DSCOVR]] находятся на квазипериодических [[Орбита Лиссажу|орбитах Лиссажу́]] близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997<ref>{{Cite web |url=http://www.srl.caltech.edu/ACE/ASC/DATA/ace_dly_reprts/HTML/December_text_1997.html |title=Источник |access-date=2015-08-06 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304093143/http://www.srl.caltech.edu/ACE/ASC/DATA/ace_dly_reprts/HTML/December_text_1997.html |url-status=live }}</ref>, 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года<ref name="noaa20150608">{{cite news |url=http://www.nesdis.noaa.gov/news_archives/DSCOVR_L1_orbit.html |title=Nation’s first operational satellite in deep space reaches final orbit |publisher=NOAA |date=2015-06-08 |accessdate=2015-06-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150608182042/http://www.nesdis.noaa.gov/news_archives/DSCOVR_L1_orbit.html |archivedate=2015-06-08 }}</ref>. В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат [[LISA Pathfinder]]<ref>{{Cite web |url=http://sci.esa.int/lisa-pathfinder/59238-lisa-pathfinder-to-conclude-trailblazing-mission/ |title=LISA Pathfinder Will Concludee Trailblazing Mission |website=ESA Science and Technology |date=2017-06-20 |publisher=ESA |access-date=2017-08-17 |archive-date=2017-08-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170805183233/http://sci.esa.int/lisa-pathfinder/59238-lisa-pathfinder-to-conclude-trailblazing-mission/ |url-status=live }}</ref>.

Лунная точка L{{sub|1}} (в [[Система Земля — Луна|системе Земля — Луна]]; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс. км<ref>{{Cite web |url=http://esamultimedia.esa.int/docs/edu/HerschelPlanck/EN_13e_L_Points_EarthMoonSystem.pdf |title=Источник |access-date=2017-11-05 |archive-date=2022-06-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220605133809/https://esamultimedia.esa.int/docs/edu/HerschelPlanck/EN_13e_L_Points_EarthMoonSystem.pdf |url-status=live }}</ref>) может стать идеальным местом для строительства космической [[Пилотируемый космический полёт|пилотируемой]] [[Орбитальная станция|орбитальной станции]], которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником<ref>{{Cite web |lang=en |url=http://www.thespacereview.com/article/1764/1 |title=EML-1: the next logical destination |author=Ken Murphy |date=2011-01-24 |publisher=The Space Review |access-date=2017-11-05 |archive-date=2017-11-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171107010211/http://www.thespacereview.com/article/1764/1 |url-status=live }}</ref>.

=== L{{sub|2}} ===
[[Файл:L2 rendering.jpg|thumb|310px|Точка L{{sub|2}} в системе Солнце — Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны (масштаб не соблюдён)]]
Точка L{{sub|2}} лежит на прямой, соединяющей два тела с массами {{math|''M''{{sub|1}}}} и {{math|''M''{{sub|2}}}} ({{math|''M''{{sub|1}} > ''M''{{sub|2}}}}), и находится за телом с меньшей массой. Точки L{{sub|1}} и L{{sub|2}} располагаются на одной линии и в пределе {{math|M{{sub|1}} ≫ ''M''{{sub|2}}}} симметричны относительно {{math|''M''{{sub|2}}}}. В точке L{{sub|2}} гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие [[Центробежная сила|центробежных сил]] во вращающейся системе отсчёта.

: '''Пример:''' у объектов, расположенных за орбитой Земли (от Солнца), орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L{{sub|2}} орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если {{math|''M''{{sub|2}}}} много меньше по массе, чем {{math|''M''{{sub|1}}}}, то точки L{{sub|1}} и L{{sub|2}} находятся от тела {{math|''M''{{sub|2}}}} на примерно одинаковом расстоянии {{math|''r''}}, равном радиусу [[Сфера Хилла|сферы Хилла]]:
: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}},</math>

где {{math|''R''}} — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг {{math|''M''{{sub|2}}}}, для которой период обращения в отсутствие {{math|''M''{{sub|1}}}} в <math>\sqrt{3}\approx 1{,}73</math> раза меньше, чем период обращения {{math|''M''{{sub|2}}}} вокруг {{math|''M''{{sub|1}}}}.

==== Использование ====
Точка L{{sub|2}} системы Солнце — Земля ({{num|1500000|км}} от Земли) является идеальным местом для расположения орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L{{sub|2}} способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области [[полутень|полутени]])<ref group="прим.">Угловой размер Земли, видимый с расстояния {{num|1.5|млн км}}, — {{num|29.3}}′, а Солнца с {{num|1|[[Астрономическая единица|а. е.]]}}{{nbsp}}+ {{num|1.5|млн км}} — {{num|31.6}}′.</ref>, так что [[солнечная радиация]] блокируется не полностью. На [[гало-орбита]]х вокруг этой точки на 2024 год располагались аппараты «[[Gaia]]» и «[[Спектр-РГ]]». Ранее там действовали такие телескопы, как «[[Планк (космическая обсерватория)|Планк]]» и «[[Гершель (космическая обсерватория)|Гершель]]». С 2022 года это место расположения телескопа «[[Джеймс Уэбб (телескоп)|Джеймс Уэбб]]» — крупнейшего космического телескопа в истории.

Точка L{{sub|2}} системы Земля — Луна ({{num|61500|км}} от Луны) может использоваться для обеспечения [[Спутниковая связь|спутниковой связи]] с объектами на [[Обратная сторона Луны|обратной стороне Луны]]; впервые эту возможность реализовал в 2018 году китайский спутник «[[Цюэцяо]]», ретранслятор первой в истории миссии на обратной стороне Луны «[[Чанъэ-4]]».

=== L{{sub|3}} ===
[[Файл:Formule lagrange.jpg|right|400px|thumb|Три из пяти точек Лагранжа расположены на оси, соединяющей два тела]]
Точка L{{sub|3}} лежит на прямой, соединяющей два тела с массами {{math|''M''{{sub|1}}}} и {{math|''M''{{sub|2}}}} ({{math|''M''{{sub|1}} > ''M''{{sub|2}}}}), и находится за телом с большей массой. Так же, как для точки L{{sub|2}}, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

: '''Пример:''' точка L{{sub|3}} в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с солнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L{{sub|3}} находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на {{num|263|км}}, или около 0,0002 %)<ref name="asa">{{cite web 2|url=http://www.spaceacademy.net.au/library/notes/lagrangp.htm |author= |authorlink= |title=The Lagrange points |deadlink=  |archiveurl= |archivedate= |lang=en |showlang= |responsible= |website=Australian Space Academy |websiteurl= |type= |date= |accessdate=2017-11-07 |quote= |quoteup= |description= |ref=}}</ref>, так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра<ref name="asa" />. В результате в точке L{{sub|3}} достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L{{sub|3}} другой аналогичной ей планеты, называемой «[[Противоземля|Противоземлёй]]», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L{{sub|3}} в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических [[Соединение (астрономия)|соединений]] Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые {{num|20|месяцев}}, Венера находится всего в {{num|0.3|[[Астрономическая единица|а. е.]]}} от точки L{{sub|3}} и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце — Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка {{num|150|км}} и более на орбиты других планет было бы заметно<ref name=could>[http://www.popsci.com/scitech/article/2009-04/could-there-be-planet-hidden-opposite-side-our-sun Could There Be a Planet Hidden on the Opposite Side of our Sun? PopSci asks the scientist who has peered around it] {{Wayback|url=http://www.popsci.com/scitech/article/2009-04/could-there-be-planet-hidden-opposite-side-our-sun |date=20141027032323 }}{{ref-en}}</ref>. С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более {{num|100|м}}<ref>{{Cite web |url=http://www.nasa.gov/mission_pages/stereo/news/invisible_frontier.html |title=Новости миссии STEREO на сайте НАСА |access-date=2016-01-26 |archive-date=2008-12-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081208233319/http://www.nasa.gov/mission_pages/stereo/news/invisible_frontier.html |url-status=dead }}</ref>{{нет в источнике}}.

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L{{sub|3}}, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде [[Национальное управление океанических и атмосферных исследований|NOAA]] {{iw|Space Weather Prediction Center}}). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника<ref name=transferslibthree>{{статья|автор=Tantardini M. et al.|заглавие=Spacecraft trajectories to the L{{sub|3}} point of the Sun–Earth three-body problem|издание=Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy|год=2010|том=108|выпуск=|номер=|страницы=215—232|ссылка=https://link.springer.com/article/10.1007/s10569-010-9299-x|doi=10.1007/s10569-010-9299-x|arxiv=|bibcode=|язык=en|archivedate=2024-05-28|archiveurl=https://web.archive.org/web/20240528212806/https://link.springer.com/article/10.1007/s10569-010-9299-x}}</ref>

=== L{{sub|4}} и L{{sub|5}} ===
[[Файл:L4 diagram.svg|thumb|right|200px|Гравитационное ускорение в точке L{{sub|4}}]]
Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел {{math|''M''{{sub|1}}}} и {{math|''M''{{sub|2}}}}, то точки L{{sub|4}} и L{{sub|5}} будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в {{num|60|градусах}} впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на [[центр масс]] системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над [[Задача трёх тел|задачей трёх тел]]. Точки L{{sub|4}} и L{{sub|5}} называют ''треугольными'' (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют ''троянскими'': это название происходит от [[Троянские астероиды Юпитера|троянских астероидов Юпитера]], которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев [[Троянская война|Троянской войны]] из «[[Илиада|Илиады]]» [[Гомер]]а, причём астероиды в точке L{{sub|4}} получают имена греков, а в точке L{{sub|5}} — защитников [[Троя|Трои]]; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «[[ахейцы|ахейцами]]») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в прямоугольной координатной системе с центром координат в центре масс системы и осью Х, направленной от первого тела ко второму, рассчитываются по следующим формулам:
: <math> r_4 = \left ( \frac{R}{2} \beta ,   \frac{\sqrt{3}R}{2} \right ), </math>
: <math> r_5 = \left ( \frac{R}{2} \beta ,   -\frac{\sqrt{3}R}{2} \right ),  </math>
где
: <math> \beta = \frac{M_1-M_2}{M_1+M_2} </math>,
: {{math|''R''}} — расстояние между телами,
: {{math|''M''{{sub|1}}}} — масса более массивного тела,
: {{math|''M''{{sub|2}}}} — масса второго тела.
: 

Так, в системе Солнце — Земля точки Лагранжа имеют следующие координаты (если пренебречь отклонением орбит от круговых).
: L<sub>1</sub> = (1,48104 ⋅ 10<sup>11</sup>, 0) м;
: L<sub>2</sub> = (1,51092 ⋅ 10<sup>11</sup>, 0) м;
: L<sub>3</sub> = (−1,49598 ⋅ 10<sup>11</sup>, 0) м;
: L<sub>4</sub> = (7,47985 ⋅ 10<sup>10</sup>, 1,29556 ⋅ 10<sup>11</sup>) м;
: L<sub>5</sub> = (7,47985 ⋅ 10<sup>10</sup>, −1,29556 ⋅ 10<sup>11</sup>) м.

: '''Примеры:'''
* В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L{{sub|4}} обнаружен астероид {{mpl|2010 TK|7}}<ref>{{Cite web |url=https://lenta.ru/news/2011/07/28/trojan/ |title=Астрономы обнаружили у Земли первый троянский спутник |access-date=2020-07-07 |archive-date=2020-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200729145308/https://lenta.ru/news/2011/07/28/trojan/ |url-status=live }}</ref>, а в 2020 году — {{mpl|2020 XL|5}}<ref>{{публикация|1=статья|автор=Santana-Ros T. et al.|заглавие=Orbital stability analysis and photometric characterization of the second Earth Trojan asteroid {{mp|2020 XL|5}}|издание=[[Nature|Nature Communications]]|год=2022|ссылка=https://www.nature.com/articles/s41467-022-27988-4.pdf|язык=en|doi=10.1038/s41467-022-27988-4.|архив дата=2022-06-05|архив=https://web.archive.org/web/20220605133804/https://www.nature.com/articles/s41467-022-27988-4.pdf}}</ref>. В L{{sub|5}} пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
* По некоторым наблюдениям, в точках L{{sub|4}} и L{{sub|5}} системы [[Земля]] — [[Луна]] находятся очень разреженные скопления межпланетной пыли — [[облака Кордылевского]].
* В системе [[Солнце]] — [[Юпитер]] в окрестностях точек L{{sub|4}} и L{{sub|5}} находятся так называемые [[Троянские астероиды Юпитера|троянские астероиды]]. По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L{{sub|4}} и L{{sub|5}}<ref>{{Cite web |url=http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/JupiterTrojans.html |title=List of Jupiter Trojans |access-date=2010-10-22 |archive-date=2011-07-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110725080850/http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/JupiterTrojans.html |url-status=live }}</ref>.
* [[Троянские астероиды]] в точках L{{sub|4}} и L{{sub|5}} есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов<ref name="ntrojans">{{Cite web
 |title       = List Of Neptune Trojans
 |publisher   = Minor Planet Center
 |url         = http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html
 |accessdate  = 2010-10-27
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/61AHpB6Oa?url=http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html
 |archivedate = 2011-08-24
 |deadlink    = no
}}</ref>.
* Другим интересным примером является спутник [[Сатурн]]а [[Тефия (спутник)|Тефия]], в точках L{{sub|4}} и L{{sub|5}} которой находятся два небольших спутника — [[Телесто (спутник)|Телесто]] и [[Калипсо (спутник)|Калипсо]]. Ещё одна пара спутников известна в системе [[Сатурн]] — [[Диона (спутник)|Диона]]: [[Елена (спутник)|Елена]] в точке L{{sub|4}} и [[Полидевк (спутник)|Полидевк]] в точке L{{sub|5}}. Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
* Один из сценариев [[Модель ударного формирования Луны|модели ударного формирования Луны]] предполагает, что гипотетическая протопланета ([[планетезималь]]) [[Тейя (гипотетическая планета)|Тейя]], в результате столкновения которой с Землёй образовалась [[Луна]], сформировалась в точке Лагранжа L{{sub|4}} или L{{sub|5}} системы [[Солнце]] — [[Земля]]<ref>{{статья|автор=Belbruno E., Gott III J. R.  |заглавие=Where Did The Moon Come From?|издание=The Astronomical Journal|год=2005|том=129 |выпуск=3|номер=|страницы=1724—1745|ссылка=|doi=10.1086/427539|arxiv=astro-ph/0405372|bibcode=|язык=en}}</ref>.
* Первоначально считалось, что в системе [[Kepler-223]] две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите на расстоянии {{num|60|градусов}}<ref>{{Cite web |url=http://www.membrana.ru/particle/15775 |title=Впервые найдены две планеты на одной орбите |access-date=2011-10-06 |archive-date=2013-07-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130725184458/http://www.membrana.ru/particle/15775 |deadlink=yes }}</ref>. Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит [[Коорбитальная орбита|коорбитальных]] планет<ref>{{cite web |url=http://www.skyandtelescope.com/astronomy-news/kepler-finds-planets-in-tight-dance/ |work=Sky and Telescope |author=Beatty, Kelly |year=2011 |accessdate=2011-03-11 |title=Kepler Finds Planets in Tight Dance |archiveurl=https://www.webcitation.org/6Dv2XnF9S?url=http://www.skyandtelescope.com/news/117467488.html |archivedate=2013-01-24 |deadlink=no }}</ref>.

== Равновесие в точках Лагранжа ==
[[Файл:Mira 1997 UV.jpg|thumb|Изображение [[двойная звезда|двойной звезды]] [[Мира (звезда)|Мира]] (омикрон Кита), сделанное космическим телескопом «[[Хаббл (телескоп)|Хаббл]]» в ультрафиолетовом диапазоне. На фотографии виден поток материи, направленный от основного компонента — [[Красный гигант|красного гиганта]] — к компаньону — [[Белый карлик|белому карлику]]. Массообмен осуществляется через окрестности точки L{{sub|1}}]]
Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L{{sub|1}} слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L{{sub|1}} играет важную роль в тесных [[Двойная звезда|двойных звёздных системах]]. [[Полость Роша|Полости Роша]] компонент таких систем соприкасаются в точке L{{sub|1}}, поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через окрестности точки Лагранжа L{{sub|1}}<ref>[http://www.astronet.ru/db/msg/1210259 Астронет > Тесные двойные звезды на поздних стадиях эволюции]</ref>.

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в [[Солнечная система|Солнечной системе]]), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму [[Фигуры Лиссажу|фигур Лиссажу]]. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, [[космический аппарат]] может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива<ref name="nasa">{{Cite web |url=http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techorbit1.html |title=WMAP Observatory — Lagrange points (NASA) |access-date=2007-07-27 |archive-date=2010-03-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100324074146/http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techorbit1.html |url-status=live }}</ref>.

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если {{math|''M''{{sub|1}}/''M''{{sub|2}} > 24,96}}<ref group="прим.">Более точно, минимальное отношение масс, обеспечивающее стабильность троянских точек либрации, составляет {{sfrac|25 + 3{{sqrt|69}}|2}} ≈ {{val|24.9599357944}}; эта величина является корнем квадратного уравнения {{math|''x''<sup>2</sup> − 25''x'' + 1 {{=}} 0}}.</ref><ref name=lec22>{{cite doi|10.1016/j.newar.2022.101641}}</ref>. При смещении объекта возникают [[Сила Кориолиса|силы Кориолиса]], которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации. Амплитуда этих осцилляций вокруг точки либрации может быть довольно значительной; так, некоторые астероиды-троянцы на орбите Юпитера колеблются по долготе на 20 градусов<ref name=danby>{{книга|автор=Danby J. M. A.|часть=|заглавие=Fundamentals of Celestial Mechanics|оригинал= |ссылка=https://archive.org/details/fundamentalsofce0000danb_q3w0/page/265|издание=2nd rev. and enlarged ed.|ответственный=|место=Richmond |издательство=Willmann — Bell|год=1992|том=|страницы=265|страниц=xii+483|isbn=0-943396-20-4|тираж=|язык=en}}</ref>. Отношения масс большинства пар гравитационно связанных объектов в Солнечной системе удовлетворяют указанному неравенству (например, отношение масс Солнце:Юпитер составляет около 1000, Земля:Луна — около 81); исключением является пара [[Плутон]] — [[Харон (спутник)|Харон]], в которой отношение масс равно 8,6. Таким образом, в паре Плутон — Харон отсутствуют устойчивые треугольные точки либрации<ref name=lec22/>.

Граничное отношение масс (≈1/25) между устойчивым и неустойчивым поведением частицы вблизи троянской точки либрации входит в текущее официальное рабочее определение [[экзопланеты]], используемое комиссией F2 «Экзопланеты и Солнечная система» [[Международный астрономический союз|Международного астрономического союза]]; экзопланетой считается тело, которое, в частности, имеет массу менее 1/25 массы тела, вокруг которого оно обращается<ref>{{cite web|url=https://www.iau.org/science/scientific_bodies/commissions/F2/info/documents/|title=Commission F2 Exoplanets and the Solar System. Documents. Official Working Definition of an Exoplanet|website=International Astronomical Union (IAU)|access-date=2024-07-16|lang=en|archive-date=2022-07-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20220703184850/https://www.iau.org/science/scientific_bodies/commissions/F2/info/documents/|url-status=live}}</ref>.

== Практическое применение ==
{{обновить раздел|дата=2015-08-06}}
[[Файл:RocheLobesDetailed.svg|thumb|[[Полость Роша|Полости Роша]] для [[Двойная звезда|двойной звёздной системы]] (обозначены жёлтым)]]
Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L{{sub|1}} системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную [[обсерватория|обсерваторию]] — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L{{sub|2}} подходит для космического [[телескоп]]а — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L{{sub|2}} неосвещённой стороной. Точка L{{sub|1}} системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько [[космический аппарат|космических аппаратов]], в первую очередь, [[астрофизика|астрофизических]] обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы<ref name="nasa"/>:

'''Точка L{{sub|1}} системы Земля — Солнце''':
* [[Международный исследователь комет|«ISEE-3»]] (International Cometary Explorer, запущен в 1978 году)
* [[GGS WIND|Космический аппарат «WIND»]], предназначенный для исследования [[Солнечный ветер|солнечного ветра]] (запущен в 1994 году).
* [[SOHO (космический аппарат)|«SOHO»]] ({{lang-en|Solar and Heliospheric Observatory}}, «Солнечная и гелиосферная обсерватория») (запущен в 1995 году).
* [[Advanced Composition Explorer]] (запущен в 1997 году).
* [[Genesis (космический аппарат)|«Genesis»]] — космический аппарат [[НАСА]], предназначенный для сбора и доставки на Землю образцов [[Солнечный ветер|солнечного ветра]]. В 2001 году запущен на орбиту вокруг точки Лагранжа L<sub>1</sub> с последующим облётом точки L<sub>2</sub> (вернулся на Землю в 2004 году)<ref>{{Cite web|url=https://genesismission.jpl.nasa.gov/gm2/mission/index.htm|title=Genesis: Search for Origins {{!}} Mission {{!}} JPL {{!}} NASA|publisher=genesismission.jpl.nasa.gov|accessdate=2019-03-26|archive-date=2018-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20180627041021/https://genesismission.jpl.nasa.gov/gm2/mission/index.htm|url-status=live}}</ref>.
* [[Deep Space Climate Observatory|Космическая обсерватория «DSCOVR»]] (запущена в 2015 году).
* «[[LISA Pathfinder]]», запущенная в 2015 году, осуществляла проверку технологий, необходимых для планируемой постройки будущей гравитационной обсерватории [[Laser Interferometer Space Antenna|«eLISA»]].
* «[[Aditya-L1]]», [[Индийская организация космических исследований|индийская]] солнечная обсерватория (запущена в 2023 году).
* Лазерная интерферометрическая космическая антенна ''«[[Laser Interferometer Space Antenna|eLISA]]»'' предназначена для регистрации [[Гравитационная волна|гравитационных волн]] и проверки [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] (запуск запланирован на 2034 год).

'''Точка L{{sub|2}} системы Земля — Солнце''':
* Космический аппарат «[[WMAP]]», изучающий [[реликтовое излучение]] (запущен в 2001 году).
* Космические телескопы «[[Гершель (космическая обсерватория)|Гершель]]» и «[[Планк (космическая обсерватория)|Планк]]», (запущены в 2009 году)<ref>{{Cite web |url=https://lenta.ru/articles/2009/06/23/hershel/ |title=Lenta.ru о телескопе «Гершель» |access-date=2020-07-07 |archive-date=2021-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210416232440/https://lenta.ru/articles/2009/06/23/hershel |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web|date=2009-07-06|url=https://lenta.ru/news/2009/07/06/planck/|title=Космический телескоп «Планк» стал самым холодным объектом во Вселенной|publisher=[[Lenta.ru]]|accessdate=2010-08-14|archive-date=2009-12-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20091221065250/http://www.lenta.ru/news/2009/07/06/planck/|url-status=live}}</ref>.
* Европейский телескоп «[[Gaia]]» (запущен в 2013 году).
* Космическая обсерватория «[[Спектр-РГ]]» (запущена в 2019 году)<ref>{{Cite web|url=https://tass.ru/kosmos/6661684|title=Обсерватория «Спектр-РГ» отделилась от разгонного блока на целевой орбите|publisher=[[ТАСС]]|accessdate=2019-07-14|lang=ru|archive-date=2019-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20190714183714/https://tass.ru/kosmos/6661684|url-status=live}}</ref>.
* Орбитальная инфракрасная обсерватория «[[Джеймс Уэбб (телескоп)|Джеймс Уэбб]]» (запущена в 2021 году)<ref>[https://jwst.nasa.gov/content/webbLaunch/countdown.html The James Webb Space Telescope (NASA)] {{Wayback|url=https://jwst.nasa.gov/content/webbLaunch/countdown.html |date=20211113140242 }}{{ref-en}}</ref>.
* Космический телескоп [[PLATO (телескоп)|«PLATO»]] также планируется разместить в точке L{{sub|2}}<ref>{{Cite web |url=http://www.astronews.ru/cgi-bin/mng.cgi?page=news&news=5497 |title=Европейское космическое агентство в 2024 году запустит телескоп PLATO |access-date=2014-02-23 |archive-date=2022-01-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220116145427/https://www.astronews.ru/cgi-bin/mng.cgi?page=news&news=5497 |url-status=live }}</ref> (запуск запланирован на 2026 год).

'''Другие точки Лагранжа''':
* в сентябре-октябре 2009 года два аппарата «[[STEREO]]» совершили транзит через точки L{{sub|4}} и L{{sub|5}}<ref> системы Солнце — Земля[http://www.space.com/scienceastronomy/090413-mm-stereo-lagrange.html Space.com: The Search for the Solar System’s Lost Planet] {{Wayback|url=http://www.space.com/scienceastronomy/090413-mm-stereo-lagrange.html |date=20090417031244 }}{{ref-en}}</ref>.
* [[Jupiter Icy Moons Orbiter|«JIMO»]] ({{lang-en2|Jupiter Icy Moons Orbiter}}) — отменённый проект NASA по исследованию спутников Юпитера, который должен был активно использовать систему точек Лагранжа для перехода от одного спутника к другому с минимальными затратами топлива. Этот манёвр получил название «лестница Лагранжа»<ref>{{Cite web |url=http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/6283/ |title=''Александр Сергеев.'' «Лестница Лагранжа» (врезка к статье Игоря Афанасьева и Дмитрия Воронцова «Межпланетная эквилибристика»), «Вокруг света», № 8 (2815) 2008. |access-date=2012-01-07 |archive-date=2013-01-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130117034902/http://vokrugsveta.ru/vs/article/6283/ |url-status=live }}</ref>.
* «[[THEMIS]]» — несколько аппаратов вокруг точек L<sub>1</sub> и L<sub>2</sub> системы Земля — Луна
* ретрансляционный спутник «[[Цюэцяо]]», выведенный на орбиту 20 мая 2018 года с помощью ракеты «[[Чанчжэн-4C]]»<ref>{{Cite web|lang=en|url=https://www.nasaspaceflight.com/2018/05/queqiao-relay-satellite-launched-change-4-lunar-mission/|title=Queqiao relay satellite launched ahead of Chang'e-4 lunar mission|website=NASASpaceFlight.com|date=2018-05-20|access-date=2022-07-02|archive-date=2020-11-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20201109011332/https://www.nasaspaceflight.com/2018/05/queqiao-relay-satellite-launched-change-4-lunar-mission/|url-status=live}}</ref>, циркулирует по [[Гало-орбита|гало-орбите]] вокруг точки Лагранжа L<sub>2</sub> системы Земля —&nbsp;Луна<ref>{{cite news|url=https://nplus1.ru/news/2018/06/14/queqiao|title=Китайский спутник-ретранслятор добрался до «рабочего места» за обратной стороной Луны|date=2018-06-14|publisher=nplus1|accessdate=2018-10-23|archive-date=2018-10-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20181023160438/https://nplus1.ru/news/2018/06/14/queqiao}}</ref>.

== Упоминание в культуре ==
{{main|Точка Лагранжа в художественной литературе}}
{{seealso|Колонизация точек Лагранжа}}
Точки Лагранжа довольно популярны в [[научная фантастика|научно-фантастических]] произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» [[Гаррисон, Гарри|Гарри Гаррисона]], «[[Глубина в небе]]» [[Виндж, Вернор|Вернора Винджа]], «[[Нейромант]]» [[Гибсон, Уильям|Уильяма Гибсона]], «[[Семиевие]]» [[Стивенсон, Нил|Нила Стивенсона]], телесериал «[[Вавилон-5]]», аниме «[[Mobile Suit Gundam]]», компьютерные игры [[Prey (игра, 2017)|Prey]], {{lang-en2|[[Borderlands&nbsp;2]]}}, [[Cyberpunk 2077]] (место расположения казино «Хрустальный дворец») {{lang-en2|{{iw|Lagrange Point|||Lagrange Point (video game)}}}}.

Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» [[Шеффилд, Чарльз|Чарльза Шеффилда]], «Нептунова арфа» [[Балабуха, Андрей Дмитриевич|Андрея Балабухи]]), инопланетные артефакты («Защитник» [[Нивен, Ларри|Ларри Нивена]]) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» [[Андерсон, Пол Уильям|Пола Андерсона]]). [[Азимов, Айзек|Айзек Азимов]] предлагал отправлять в точки Лагранжа радиоактивные отходы («Вид с высоты»).

Московская пост-роковая группа [[Mooncake]] в 2008 году выпустила альбом [[Lagrange Points]], на обложке которого схематически изображены все точки Лагранжа.

== См. также ==
* [[Колонизация точек Лагранжа]]

== Примечания ==
'''Комментарии'''
{{примечания |group="прим."}}

'''Источники'''
{{примечания|2}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://math.ucr.edu/home/baez/lagrange.html Точки Лагранжа]{{ref-en}}
* [http://www.magister.msk.ru/library/extelop/articles/lagrange.htm Точки Лагранжа в научной фантастике]
* ''David Peter Stern''. [http://www.phy6.org/stargaze/Slagrang.htm Locations of Lagrange points, with approximations]{{ref-en}}

{{внешние ссылки}}
{{Орбиты}}
{{Небесная механика}}

[[Категория:Небесная механика]]
[[Категория:Космонавтика]]