Просмотр кода страницы Треугольник Паскаля

[[Файл:Треугольник Паскаля.svg|thumb|300px|Первые 15 строк треугольника Паскаля]]
'''Треугольник Паскаля''' ('''арифметический треугольник''') — бесконечная таблица [[Биномиальный коэффициент|биномиальных коэффициентов]], имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят [[1 (число)|единицы]]. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика [[Паскаль, Блез|Блеза Паскаля]], хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в [[Исламский мир|исламском мире]]<ref>{{статья|jstor=2305028|автор=J. L. Coolidge|заглавие=The Story of the Binomial Theorem|год=1949-03|издание=The American Mathematical Monthly|том=56|выпуск=3|страницы=147|doi=10.2307/2305028}}</ref>, Индии<ref>{{Статья|ссылка=http://dx.doi.org/10.2307/593985|автор=Helen M. Johnson, Maurice Winternitz, S. Ketkar, H. Kohn|заглавие=A History of Indian Literature. Vol. II. Buddhist Literature and Jain Literature|год=1936-09|издание=Journal of the American Oriental Society|том=56|выпуск=3|страницы=371|issn=0003-0279|doi=10.2307/593985}}</ref>, Китае, Германии и Италии<ref>{{Книга|заглавие=Cambridge University Library: the great collections|ссылка=https://archive.org/details/cambridgeunivers0000unse_d4j1|ответственный=Peter Fox|год=1998|место=Cambridge, UK ; New York|издательство=Cambridge University Press|страниц=231|isbn=978-0-521-62636-1, 978-0-521-62647-7}}</ref>. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в [[Алгебра|алгебре]], [[Комбинаторика|комбинаторике]], [[Теория вероятностей|теории вероятностей]], [[Математический анализ|математическом анализе]], [[Теория чисел|теории чисел]]{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.

== История ==
[[Файл:Yanghui triangle.gif|thumb|right|250px|Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год]]
Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времён Паскаля. Персидский математик [[Абу Бакр аль-Караджи|Аль-Караджи]] (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля<ref>{{Cite book|last=Selin|first=Helaine|title=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&q=al+karaji+pascal%27s+triangle&pg=PA132|publisher=Springer Science & Business Media|date=2008-03-12|page=132|isbn=9781402045592|language=en|bibcode=2008ehst.book.....S}}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62 The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed] "Page 63"</ref><ref>{{Cite book|last1=Sidoli|first1=Nathan|last2=Brummelen|first2=Glen Van|title=From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren|url=https://books.google.com/books?id=kAjABAAAQBAJ&q=al+karaji+binomial+theorem&pg=PA54|publisher=Springer Science & Business Media|date=2013-10-30|page=54|isbn=9783642367366|language=en}}</ref>. Позднее треугольник также исследовался [[Омар Хайям|Омаром Хайямом]] около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют '''треугольником Хайяма''' ({{lang-fa|مثلث خیام}}). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием ''meru-prastaara'' встречается также в комментарии индийского математика [[X век]]а {{нп5|Халаюдха (математик)|Халаюдхи|en|Halayudha}} к трудам другого математика, [[Пингала|Пингалы]]{{Неавторитетный источник?}}<ref>''Pisipati S. S.'' [https://www.google.ru/books/edition/_/LwrPEAAAQBAJ?hl=ru&gbpv=1&pg=PA10&dq=Pingala+Pascal%27s+triangle The knpwn srcret]</ref>. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика [[Чжу Шицзе]], в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, [[Ян Хуэй]], поэтому в Китае его называют '''треугольником Яна Хуэя''' ({{lang-zh|杨辉三角; 楊輝三角}}).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют '''треугольником Тартальи''', поскольку [[Никколо Тарталья]] описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году [[Апиан, Петер|Петером Апианом]], астрономом из {{iw|Ингольштадтский университет|Ингольштадтского университета|de|Universität Ingolstadt}}, также изображён треугольник Паскаля. А в [[1665 год в науке|1665 году]]<ref name="mem">{{статья |автор=О.&nbsp;В. Кузьмин |заглавие=Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения |издание=[[Соросовский Образовательный Журнал]] |год=2000 |том=6 |номер=5 |страницы=101—109 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0005_101.pdf |archivedate=2013-10-29 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131029195104/http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0005_101.pdf }}</ref> вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»<ref>{{статья |заглавие=Удивительный треугольник великого француза |издание=[[Hard'n'Soft]] |номер=10 |год=2003 |ссылка=http://www.arbuz.uz/u_treug.html |archivedate=2010-04-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100421090559/http://arbuz.uz/u_treug.html }}</ref>, которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля [[Монмор, Пьер Ремон де|Пьером Раймоном де Монмором]] (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» ({{lang-fr|table de M. Pascal pour les combinaisons}}), и [[Муавр, Абрахам де|Абрахамом де Муавром]] (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» ({{lang-lat|Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM}}), что стало основой современного западного названия<ref>{{Cite journal|last=Fowler|first=David|author-link=David Fowler (mathematician)|date=January 1996|title=The Binomial Coefficient Function|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=103|issue=1|pages=1–17|doi=10.2307/2975209|jstor=2975209}} See in particular p. 11.</ref>.

== Обозначения и свойства ==
[[Биномиальный коэффициент|Биномиальные коэффициенты]] часто обозначаются <math>\binom{n}{k}</math> или <math>C_n^k</math> и читаются как «число сочетаний из {{mvar|n}} элементов по {{mvar|k}}»{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.

* Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
* В строке с номером ''n'' (нумерация начинается с 0):
** первое и последнее числа равны 1;
** второе и предпоследнее числа равны ''n'';
** третье число равно [[Треугольное число|треугольному числу]] <math>T_{n-1} = \frac{n(n - 1)}{2}</math>, что также равно сумме номеров предшествующих строк;
** четвёртое число является [[Тетраэдрические числа|тетраэдрическим]];
** ''m''-е число (при нумерации с 0) равно [[биномиальный коэффициент|биномиальному коэффициенту]] <math>C_n^m = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}</math>.
* Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (''n'' − 1)-й строки, есть ''n''-е [[число Фибоначчи]]:
*: <math>\binom{n - 1}{0} + \binom{n - 2}{1} + \binom{n - 3}{2} + \ldots = F_n.</math>
* Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится [[число Каталана]].
* Сумма чисел ''n''-й строки треугольника Паскаля равна <math>2^n</math>.
* Все числа в ''n''-й строке, кроме единиц, делятся на число ''n'' тогда и только тогда, когда ''n'' является [[простое число|простым числом]]<ref name="mathworld">{{MathWorld|urlname=PascalsTriangle|title=Pascal's Triangle}}</ref> (следствие [[теорема Люка|теоремы Люка]]).
* Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3''n'', 3''n'' + 1, 3''n'' + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на единицу меньше.
* Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

== Выборочное вычисление значений ==
Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчёта всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.

Чтобы рассчитать ряд <math>n</math> с элементами <math>\tbinom{n}{0}, \tbinom{n}{1}, \ldots, \tbinom{n}{n}</math>, начните с <math>\tbinom{n}{0}=1</math>. Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:

:<math> {n\choose k}= {n\choose k-1}\times \frac{n+1-k}{k}.</math>

Например, для расчёта значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения&nbsp; <math>\tfrac{5}{1}</math>,&nbsp; <math>\tfrac{4}{2}</math>,&nbsp; <math>\tfrac{3}{3}</math>,&nbsp; <math>\tfrac{2}{4}</math> и <math>\tfrac{1}{5}</math>, и следовательно элементы ряда&nbsp; <math>\tbinom{5}{0}=1</math>, &nbsp; <math>\tbinom{5}{1}=1\times\tfrac{5}{1}=5</math>, &nbsp; <math>\tbinom{5}{2}=5\times\tfrac{4}{2}=10</math>, и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)

Для расчёта элементов диагоналей <math>\tbinom{n}{0}, \tbinom{n+1}{1}, \tbinom{n+2}{2},\ldots,</math> начните снова с  <math>\tbinom{n}{0} = 1</math> и получите последующие элементы путём умножения на определённые дроби:

:<math> {n+k\choose k}= {n+k-1\choose k-1}\times \frac{n+k}{k}.</math>

Например, для расчёта диагонали начиная с <math>\tbinom{5}{0}</math>, дроби будут следующими&nbsp; <math>\tfrac{6}{1}, \tfrac{7}{2}, \tfrac{8}{3}, \ldots</math>, и следовательно элементы получатся <math>\tbinom{5}{0}=1, \tbinom{6}{1}=1 \times \tfrac{6}{1}=6, \tbinom{7}{2}=6\times\tfrac{7}{2}=21</math>, и так далее. По симметрии эти элементы равны <math>\tbinom{5}{5}, \tbinom{6}{5}, \tbinom{7}{5}</math>, и так далее.

== Цитаты ==
{{цитата|Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.|автор=[[Мартин Гарднер]]<ref>{{книга |автор=[[Мартин Гарднер]] |заглавие=Математические новеллы |часть=Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля |издательство=Мир |место=М. |год=1974 |страниц=456}}</ref>}}

== См. также ==
* [[Треугольник Серпинского]]
* [[Гипотеза Сингмастера]]
* [[Треугольник Хосойя]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |ссылка = https://archive.org/details/libgen_00069640 |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Паскаля треугольник |страницы = [https://archive.org/details/libgen_00069640/page/n230 230]-232 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{статья |автор=Фукс Д., Фукс М. |заглавие=Арифметика биномиальных коэффициентов |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |год=1970 |страницы=17—25 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/06/arifmetika_binomialnyh_koeffic.htm}}
* {{книга|автор=[[Успенский В. А.]]|заглавие=Треугольник Паскаля|год=1979|серия=[[Популярные лекции по математике]]|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a43.htm|место=М.|издательство=Наука|тираж=200000|страниц=48|isbn=}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld3|Pascal's Triangle}}
* [https://bbf.ru/calculators/94/ Построение треугольника Паскаля]
{{вс}}

[[Категория:Комбинаторика]]
[[Категория:Блез Паскаль]]