Просмотр кода страницы Треугольный паркет

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Треугольная мозаика
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:1-uniform n11.svg |200px|Треугольная мозаика]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип||[[Правильная мозаика]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Вершинная фигура]]|| 3.3.3.3.3.3 (3<sup>6</sup>)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефли]]|| {3,6}<BR>{3<sup>[3]</sup>}|{3,6}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|{{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}|| 6 &#124; 3 2<BR>3 &#124; 3 3<BR>&#124; 3 3 3
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]|| {{CDD|node|6|node|3|node_1}}<BR>{{CDD|node|6|node_h|3|node_h}}<BR>{{CDD|node_1|split1|branch}} = {{CDD|node_h1|6|node|3|node}}<BR>{{CDD|node_h|split1|branch_hh}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Группа симметрии|| {{не переведено 5|Симметрия 632|p6m||632 symmetry}}, [6,3], (*632)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Вращательная симметрия|| {{не переведено 5|Симметрия 632|p6||632 symmetry}}, [6,3]<sup>+</sup>, (632)<br>[[Группа обоев|p3]], [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>, (333)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Двойственная<BR />мозаика||[[Шестиугольный паркет|Шестиугольная мозаика]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Свойства||[[Изогональная фигура|Вершинно транзитивна]],<BR />{{не переведено 5|Рёберная транзитивность|рёберно транзитивна||Edge-transitive}},<BR />{{не переведено 5|Транзитивность граней|транзитивна по граням||Face-transitive}}
|}

'''Треуго́льный парке́т''' (''треугольный паркета́ж''{{sfn|Голомб|1975|с=147}}) или '''треугольная мозаика''' — это [[Паркет (геометрия)|замощение]] [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] равными правильными [[треугольник]]ами, расположенными сторона к стороне.

Треугольная мозаика является двойственной [[Шестиугольный паркет|шестиугольной мозаике]] — если соединить центры смежных треугольников, то проведённые отрезки дадут шестиугольную мозаику{{sfn|Голомб|1975|с=147}}<ref name="mw_dual" >{{MathWorld |urlname=DualTessellation |title=Dual Tessellation }}</ref>. [[Символ Шлефли]] треугольного паркета — {3,6}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся 6 треугольников.

[[Многоугольник|Внутренний угол]] правильного треугольника равен 60 градусов, так что шесть треугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из [[Список правильных многомерных многогранников и соединений#Евклидовы мозаики|трёх правильных мозаик плоскости]]. Другие две мозаики — [[шестиугольный паркет]] и [[квадратный паркет]].

[[Файл:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|thumb|67%|right|[[Шахматная раскраска]] треугольного паркета]]
Английский математик [[Конвей, Джон Хортон|Конвей]] называл мозаику '''deltille''' (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы ''дельта'' (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию {{не переведено 5|Операция Конвея kis|kis||Conway kis operator}}, которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани [[Шестиугольная мозаика|шестиугольной мозаики]].

== Однородные раскраски ==
Существует 9 различных [[Однородная раскраска|однородных раскрасок]] треугольной мозаики  (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя  1 и 3, в то время как 111213 получается из  121314{{sfn|Grünbaum, Shephard|1987|с=102-107}}.

Существует один класс {{не переведено 5|Архимедова раскраска|архимедовой раскраски||Archimedean coloring}}, 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.

{| class="wikitable"
|-  align=center
|BGCOLOR="#ffc0c0"|111111
|BGCOLOR="#ffc0c0"|121212
|BGCOLOR="#ffc0c0"|111222
|BGCOLOR="#ffc0c0"|112122
|BGCOLOR="#c0c0ff"|111112(*)
|- align=center
|[[Файл:Uniform triangular tiling 111111.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 121212.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 111222.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 112122.png|75px]]
|[[Файл:2-uniform_triangular_tiling_111112.png|75px]]
|- align=center
|p6m (*632)
|p3m1 (*333)
|cmm (2*22)
|p2 (2222)
|p2 (2222)
|}

{| class="wikitable"
|- align=center
|BGCOLOR="#ffc0c0"|121213
|BGCOLOR="#c0ffc0"|111212
|BGCOLOR="#c0ffc0"|111112
|BGCOLOR="#ffc0c0"|121314
|BGCOLOR="#c0ffc0"|111213
|-
|[[Файл:Uniform_triangular_tiling_121213.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 111212.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 111112.png|75px]]
|[[Файл:Uniform_triangular_tiling_121314.png|75px]]
|[[Файл:Uniform triangular tiling 111213.png|75px]]
|- align=center
|colspan=3|p31m (3*3)
|colspan=2|p3 (333)
|}

== Решётка A2 и упаковка кругов ==
[[Файл:Compound 3 triangular tilings.svg|thumb|Решётка A{{sup sub|*|2}} как три треугольные мозаики: {{CDD|node_1|split1|branch}} + {{CDD|node|split1|branch_10lu}} + {{CDD|node|split1|branch_01ld}}]]
{{не переведено 5|Расположение вершин|||vertex arrangement}} треугольной мозаики называется решёткой A<sub>2</sub><ref>{{Cite web |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html |title=The Lattice A2<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2017-03-26 |archive-date=2021-02-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210225232152/http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html |deadlink=no }}</ref>. Она является 2-мерным вариантом {{не переведено 5|Симлектические соты|симлектических сот||simplectic honeycomb}}.

Решётка A{{sup sub|*|2}} (которая также называется A{{sup sub|3|2}}) может быть построена как объединение трёх решёток A<sub>2</sub> и эквивалентна решётке A<sub>2</sub>.
:{{CDD|node_1|split1|branch}} + {{CDD|node|split1|branch_10lu}} + {{CDD|node|split1|branch_01ld}} = dual of {{CDD|node_1|split1|branch_11}} = {{CDD|node_1|split1|branch}}

Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной [[Упаковка кругов|упаковки кругов]] {{sfn|Critchlow|1987|с=74–75, pattern 1}}. Любой круг соприкасается с 6 другими кругами ([[контактное число]]). [[Плотность упаковки]] равна <math>\tfrac{\pi}{\sqrt{12}}</math>, это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A<sub>2</sub> снова будет решёткой A<sub>2</sub>, круги можно раскрасить в три цвета.

[[Диаграмма Вороного|Ячейкой диаграммы Вороного]] треугольной мозаики является [[шестиугольник]], так что [[мозаика Вороного]], шестиугольная мозаика, имеет прямое отношение к упаковке кругов.

{| class=wikitable
!Решётка A<sub>2</sub> упаковки кругов
!Решётка A{{sup sub|*|2}} упаковки кругов
|-
|[[Файл:triangular tiling circle packing.png|240px]]
|[[Файл:Triangular tiling circle packing3.svg|240px]]
|}

== Геометрические варианты  ==

Треугольные мозаики могут быть идентичны  {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника  в каждой вершине). Существует 5 [[Изогональная фигура|вершинно транзитивных]] вариантов с одинаковыми гранями  ({{не переведено 5|транзитивных по граням|||Face-transitive}}). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке{{sfn|Grünbaum, Shephard|1987|с=473-481}}.

<gallery>
Isohedral_tiling_p3-11.svg|[[Треугольник#Типы треугольников|Разносторонний треугольник]]<BR>симметрия p2
Isohedral_tiling_p3-12.svg|Разносторонний треугольник<BR> симметрия pmg 
Isohedral_tiling_p3-13.svg|[[Равнобедренный треугольник]]<BR> симметрия cmm 
Isohedral_tiling_p3-11b.png|[[Прямоугольный треугольник]]<BR> симметрия cmm 
Isohedral_tiling_p3-14.svg|[[Правильный треугольник]]<BR> симметрия p6m 
</gallery>

== Связанные многогранники и мозаики ==

Плоские мозаики связаны с [[многогранник]]ами. Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в [[Пирамида (геометрия)|пирамиду]]. Отсюда можно получить [[Правильный многогранник|правильные многогранники]]: пять, четыре и три треугольника в вершине дают [[икосаэдр]], [[октаэдр]] и  [[тетраэдр]] соответственно.

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с [[символ Шлефли|символами Шлефли]] {3,n}.
{{Треугольные правильные мозаики}}

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с [[Полуправильный многогранник|полуправильными многогранниками]] с [[Конфигурация вершины#Конфигурация граней|конфигурацией граней]] Vn.6.6.
{| class="wikitable"
|-  align=center
|[[Файл:Triakistetrahedron.jpg|60px]]<BR>[[Триакистетраэдр|V3.6.6]]
|[[Файл:Tetrakishexahedron.jpg|60px]]<BR>[[Тетракисгексаэдр|V4.6.6]]
|[[Файл:Pentakisdodecahedron.jpg|60px]]<BR>[[Пентакисдодекаэдр|V5.6.6]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-63-t2.svg|60px]]<BR>V6.6.6
|[[Файл:Order3 heptakis heptagonal til.png|60px]]<BR>{{не переведено 5|Усечённая треугольная мозаика порядка 7|V7.6.6||Order-7 truncated triangular tiling}}
|}

==Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик ==

Подобно [[Однородный многогранник|однородным многогранникам]] существует восемь [[Однородная мозаика|однородных мозаик]], базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (''Усечённая треугольная мозаика'' топологически идентична шестиугольной мозаике.)

{{Малая таблица шестиугольных мозаик}}

{{Таблица треугольных мозаик}}

== Связанные правильные комплексные бесконечноугольники ==

Существует 4 {{не переведено 5|Правильный комплексный апейрогон|правильных комплексных апейрогона||regular complex apeirogon}}, имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны ''p''{''q''}''r'' имеют ограничение: 1/''p'' + 2/''q'' + 1/''r'' = 1. Рёбра имеют ''p'' вершин и вершинные фигуры являются ''r''- угольниками {{sfn|Coxeter|1991|с=111-112, 136}}.

Первый [[апейрогон]] состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.
{| class=wikitable
|-
|[[Файл:Complex apeirogon 2-6-6.png|160px]]
|[[Файл:Complex apeirogon 3-4-6.png|160px]]
|[[Файл:Complex apeirogon 3-6-3.png|160px]]
|[[Файл:Complex apeirogon 6-3-6.png|160px]]
|-
!2{6}6 или {{CDD|node_1|6|6node}}
!3{4}6 или {{CDD|3node_1|4|6node}}
!3{6}3 или {{CDD|3node_1|6|3node}}
!6{3}6 или {{CDD|6node_1|3|6node}}
|}

=== Другие треугольные мозаики===
Существуют также три {{не переведено 5|Мозаика Лавеса|мозаики Лавеса||Laves tiling}}, состоящие из треугольников одного типа:
{| class=wikitable
|- align=center valign=bottom
|[[Файл:1-uniform 3 dual.svg|240px]]<br>{{не переведено 5|Разделённая ромбическая мозаика|Разделённая ромбическая||Kisrhombille tiling}}<BR>30°-60°-90° прямоугольные треугольники
|[[Файл:1-uniform 2 dual.svg|240px]]<br>[[Разделённая квадратная мозаика|Разделённая квадратная]]<BR>45°-45°-90° прямоугольные треугольники
|[[Файл:1-uniform 4 dual.svg|240px]]<br>{{не переведено 5|триразделённая треугольная мозаика|||Triakis triangular tiling}}<BR>30°-30°-120° равнобедренные треугольники
|}

==См. также==
* [[Замощение]]
* [[Полиамонд]]
* [[Шестиугольная решётка]]
* {{не переведено 5|Треугольные мозаичные соты|||Triangular tiling honeycomb}}
* {{не переведено 5|Симлектические соты|||Simplectic honeycomb}}
* [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости]]
* {{не переведено 5|Список однородных мозаик|||List of uniform tilings}}
* {{не переведено 5|Isogrid|||Isogrid}} (структурное проектирование, использующее треугольную мозаику)

==Примечания==
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{книга
 |автор=С.В. Голомб
|ref=Голомб
 |заглавие=Полимино
 |оригинал=Polyominoes
 |ответственный=Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома
 |место=М.
 |издательство=Мир
 |год=1975
 |страниц=207
 |страницы=147
 |ссылка=http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000022/st032.shtml
}}
*{{книга
|автор = [[Грюнбаум, Бранко|B. Grünbaum]], G.C. Shephard
|ref =Grünbaum, Shephard
|заглавие = Tilings and Patterns
|ссылка = https://archive.org/details/tilingspatterns00grue
|место = New York
|издательство = W. H. Freeman & Co.
|год = 1987
|ISBN = 0-7167-1193-1
|страницы=[https://archive.org/details/tilingspatterns00grue/page/n68 58]—65,102—107
|часть= Chapter 2.1: ''Regular and uniform tilings'', Chapter 2.9 ''Archimedean and Uniform colorings''
}}

* {{книга
|автор=R. Williams
|ref =Williams
|заглавие=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
|ссылка=https://archive.org/details/geometricalfound00will
|место=New York
|издательство=[[Dover Publications]]
|год=1979
|isbn=0-486-23729-X
|страницы=[https://archive.org/details/geometricalfound00will/page/35 35]
}}
* {{книга
 |автор       = [[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass
|ref              = Conway, Burgiel, Goodman-Strass
|заглавие = The Symmetries of Things
|год           = 2008
|ISBN             = 978-1-56881-220-5
|ссылка     =https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205
}} {{Wayback|url=http://www.akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205 |date=20100919143320 }}
* {{книга
|ref=Coxeter
|автор=[[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]]
|заглавие=Regular Complex Polytopes
|издательство=Cambridge University Press
|место=New York, Port Chester, Melbourne, Sydney
|isbn=0-521-39490-2
|год=1991
|издание=2ed
}}
* {{книга
|заглавие=Order in Space: A design source book
|автор=Keith Critchlow
|ref=Critchlow
|издательство=Thames & Hudson
|год=1987
|место=New York
|isbn=0-500-34033-1
}}

{{refend}}

==Ссылки ==
* {{MathWorld | urlname=TriangularGrid | title=Triangular Grid}}
** {{MathWorld | urlname=RegularTessellation | title=Regular tessellation}}
** {{MathWorld | urlname=UniformTessellation | title=Uniform tessellation}}
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/dimensions/flat.htm#2D 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2]
* {{cite web |url=http://www-cs-students.stanford.edu/~amitp/game-programming/grids/ |title=Grid Math: Square, Hexagon, Triangle |author=Amit Patel |description=Алгоритмы представления шестиугольной и треугольной сеток в компьютерных стратегических играх }}

{{Геометрические соты}}
{{Геометрические мозаики}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Евклидовы мозаики]]
[[Категория:Изогональные мозаики]]
[[Категория:Правильные мозаики]]