Просмотр кода страницы Уравнения Баргмана — Вигнера

{{КТП}}
'''Уравнения Баргмана — Вигнера''' — [[Теория относительности|релятивистски]] инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения [[свободная частица|свободных частиц]] c ненулевой массой и произвольным [[спин]]ом.<ref>В этой статье используется [[Соглашение Эйнштейна|соглашение о суммировании Эйнштейна]] для [[тензор]]ных/[[спинор]]ных индексов и используется символ [[циркумфлекс]]а для обозначения [[Оператор (физика)#Операторы, используемые в квантовой физике|квантовых операторов]].</ref>

Получили название в честь [[Баргман, Валентин|Валентина Баргмана]] и [[Вигнер, Юджин|Юджина Вигнера]].

== История ==
[[Дирак, Поль|Поль Дирак]] впервые опубликовал [[уравнение Дирака]] в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.<ref name="Jeffery">{{cite journal | author =E.A. Jeffery
 | year =1978
 | title =Component Minimization of the Bargman–Wigner wavefunction
 | url =https://archive.org/details/sim_australian-journal-of-physics_1978-05_31_2/page/137
 | journal =Australian Journal of Physics
 | volume =31
 | issue =2
 | pages =137
 | bibcode =1978AuJPh..31..137J
 | doi=10.1071/ph780137
 | doi-access =free
 }}</ref> [[Вигнер, Юджин|Юджин Вигнер]] написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной [[Группа Лоренца|группы Лоренца]] или [[группа Пуанкаре|группы Пуанкаре]].<ref>{{cite journal
 | author = E. Wigner
 | year = 1937
 | title = On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group
 | journal = Annals of Mathematics
 | volume = 40
 | pages = 149–204
 | number = 1
 | url = http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf
 | doi = 10.2307/1968551
 | bibcode = 1939AnMat..40..149W
 | jstor = 1968551
 | access-date = 2022-09-12
 | archive-date = 2015-10-04
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20151004025027/http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf
 | url-status = live
 }}</ref> Вигнер отмечает, что [[Этторе Майорана]]<ref>''[[Этторе Майорана|Э. Майорана]]'' Релятивистская теория частицы с произвольным внутренним угловым моментом // ''Л. Мишель, М. Шааф'' Симметрия в квантовой физике. — М., [[Мир (издательство)|Мир]], 1974. — с. 239-247</ref> и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году [[Баргман, Валентин|Валентин Баргман]] и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений<ref>{{cite journal|author1=Bargmann, V.|author2=Wigner, E. P.|title=Group theoretical discussion of relativistic wave equations|year=1948|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=34|pages=
211–23|issue=5|doi=10.1073/pnas.34.5.211|pmid=16578292|bibcode = 1948PNAS...34..211B|pmc=1079095|doi-access=free}}</ref>.

== Формулировка уравнений ==
Для свободной [[электрический заряд|электрически]] нейтральной массивной частицы со спином <math>j</math> уравнения БВ представляют собой систему <math>2j</math> [[линейное дифференциальное уравнение|линейных]] [[дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальных уравнений в частных производных]], каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную [[уравнение Дирака|уравнению Дирака]]. Система уравнений имеет вид<ref name="Jeffery"/><ref name="Loide, Saar">{{cite journal
 | author = R.K. Loide |author2=I.Ots |author3=R. Saar
 | year = 2001
 | title = Generalizations of the Dirac equation in covariant and Hamiltonian form
 | journal = Journal of Physics A 
 | doi = 10.1088/0305-4470/34/10/307
 | volume=34
 |issue=10 | pages=2031–2039
|bibcode = 2001JPhA...34.2031L }}</ref><ref>{{cite journal |author1=H. Shi-Zhong |author2=R. Tu-Nan |author3=W. Ning |author4=Z. Zhi-Peng |year=2002 |title=Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin |journal=Communications in Theoretical Physics |volume=37 |issue=1 |pages=63 |url=http://ctp.itp.ac.cn/EN/abstract/abstract9668.shtml |bibcode=2002CoTPh..37...63H |doi=10.1088/0253-6102/37/1/63 |access-date=2022-09-12 |archive-date=2012-11-27 |archive-url=https://archive.today/20121127185226/http://ctp.itp.ac.cn/EN/abstract/abstract9668.shtml |url-status=dead }}</ref>
<ref>''[[Ляховский, Владимир Дмитриевич|Ляховский В.Д.]], Болохов А.А.'' Группы симметрии и элементарные частицы. — Л., [[ЛГУ]], 1983. — с. 326 - 327</ref><ref>''[[Новожилов, Юрий Викторович|Новожилов Ю.В.]]'' Введение в теорию элементарных частиц. — М., [[Наука (издательство)|Наука]], 1972. — с. 150 - 153</ref>

:<math>\begin{align}
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& \qquad \vdots \\
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \\
\end{align}</math>

и следует общему правилу;

{{NumBlk|:|
{{Equation box 1
|title=
|indent =
|equation = 
<math>\left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_r \alpha'_r}\psi_{\alpha_1 \cdots \alpha'_r \cdots \alpha_{2j}} = 0 </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
|{{EquationRef|1}}}}

для <math>r = 1, 2, ... 2j</math>. 

Волновая функция БВ <math>\psi = \psi (\mathbf{r}, t)</math> имеет компоненты

:<math>\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} (\mathbf{r},t) </math>

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует <math>4^{2j}</math> компонент всего спинорного поля <math>\psi</math>, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до <math>2(2j + 1)</math>. Далее, <math>\gamma^{\mu} = (\gamma^{0}, \mathbf{\gamma})</math> являются [[Матрицы Дирака|матрицами Дирака]], и

:<math>\hat{P}_\mu = i \hbar \partial_\mu</math>

является [[Оператор импульса#Четырёхмерный оператор импульса|четырёхмерным оператором импульса]].

Оператор, составляющий каждое уравнение <math>(- \gamma^{\mu} P_{\mu} + mc) = (-i \hbar \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + mc)</math>, является матрицей размерности <math>4 \times 4</math>, потому что <math>\gamma^{\mu}</math> матрицы, 
и <math>mc''</math> [[умножение на скаляр|скалярно умножаются]] на [[единичная матрица|единичную матрицу]] размерностью <math>4 \times 4</math> (обычно не пишется для простоты). Явно, в [[матрицы Дирака|представлении Дирака матриц Дирака]]:<ref name="Jeffery"/>

:<math>\begin{align}
-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc & = -\gamma^0 \frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\gamma}\cdot(-\hat{\mathbf{p}}) + mc \\ [6pt]
& = -\begin{pmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & -I_2 \\
\end{pmatrix}\frac{\hat{E}}{c} 
+
\begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} \\
-\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & I_2 \\
\end{pmatrix}mc \\ [8pt]
& =
\begin{pmatrix}
-\frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 & \hat{p}_z & \hat{p}_x - i\hat{p}_y \\
0 & -\frac{\hat{E}}{c}+mc & \hat{p}_x + i\hat{p}_y & -\hat{p}_z \\
-\hat{p}_z & -(\hat{p}_x - i\hat{p}_y) & \frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 \\
-(\hat{p}_x + i\hat{p}_y) & \hat{p}_z & 0 & \frac{\hat{E}}{c}+mc \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}</math>

где <math>\mathbf{\sigma} = (\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}) = (\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z})</math> является вектором, каждая компонента которого является [[матрицы Паули|матрицей Паули]], <math>E</math> является оператором энергии, <math>\mathbf{p} = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) = (p_{x}, p_{y}, p_{z})</math> является [[Оператор импульса#Определение на основе волны де Бройля|оператором трёхмерного импульса]], <math>I_{2}</math> обозначает [[единичная матрица|единичную матрицу]] 
размерностью <math>2 \times 2</math>, нули (во второй строке) обозначают [[Блочная матрица|блочную матрицу]] размерностью <math>2 \times 2</math> составленную из [[Нулевая матрица|нулевых матриц]].

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

* уравнения БВ являются [[Лоренц-ковариантность|Лоренц-ковариантными]],
* все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют [[Уравнение Клейна — Гордона|уравнению Клейна–Гордона]] и, следовательно, удовлетворяют {{не переведено 5|Релятивистское соотношение энергии и импульса|релятивистскому соотношению энергии и импульса|en|Energy–momentum relation}},

::<math>E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2</math>,

* уравнения БВ допускают [[вторичное квантование]] .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего {{не переведено 5|Минимальное взаимодействие|минимальное электромагнитное взаимодействие|en|Minimal coupling}}, 
формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение <math>P_{\mu}  \rightarrow P_{\mu} - eA_{\mu}</math>, где <math>e</math> - [[электрический заряд]] частицы и <math>A_{\mu} = (A_{0}, \mathbf{A})</math> - это [[электромагнитный потенциал]].<ref name="Jaroszewicz, Kurzepa">{{cite journal
 |author1=T. Jaroszewicz |author2=P.S. Kurzepa | year = 1992
 | title = Geometry of spacetime propagation of spinning particles
 | journal = Annals of Physics
 | doi=10.1016/0003-4916(92)90176-M
 | volume=216
 |issue=2 | pages=226–267
|bibcode = 1992AnPhy.216..226J }}</ref><ref>{{cite journal
 | author = C.R. Hagen
 | year = 1970
 | title = The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity
 | journal = Communications in Mathematical Physics 
 | volume=18 |issue=2 |pages=97–108
 | doi=10.1007/BF01646089
|bibcode = 1970CMaPh..18...97H }}</ref> Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные [[4-ток|4-токи]] и [[Мультиполь|мультиполи]] частицы.<ref>{{cite arXiv
 | author = Cedric Lorce
 | year = 2009
 | title = Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 1 ? Electromagnetic Current and Multipole Decomposition
 | eprint = 0901.4199
| class = hep-ph
 }}</ref><ref>{{cite journal
 | author = Cedric Lorce
 | year = 2009
 | title = Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 ? Natural Moments and Transverse Charge Densities
 | journal = Physical Review D
 | volume = 79
 | issue = 11
 | pages = 113011
 | arxiv = 0901.4200
| doi = 10.1103/PhysRevD.79.113011
 | bibcode = 2009PhRvD..79k3011L
 | s2cid = 17801598
 }}</ref>

== Структура группы Лоренца ==
[[Теория представлений группы Лоренца|Представление группы Лоренца]] для уравнений БВ:<ref name="Jaroszewicz, Kurzepa"/>

:<math>D^\mathrm{BW} = \bigotimes_{r=1}^{2j} \left[ D_r^{(1/2,0)}\oplus D_r^{(0,1/2)}\right]\,.</math>

где <math>D_{r}</math> обозначает неприводимое представление. 

== См. также ==
{{кол}}
* {{нп5|Уравнения Дирака для двух тел|Уравнения Дирака для двух тел|en|Two-body Dirac equations}}
* {{нп5|Обобщения матриц Паули|Обобщения матриц Паули|en|Generalizations of Pauli matrices}}
* [[D-матрица Вигнера]]
* {{нп5|Матрицы Вейля–Брауэра|Матрицы Вейля–Брауэра|en|Weyl–Brauer matrices}}
* {{нп5|Матрицы Дирака высших размерностей|Матрицы Дирака высших размерностей|en|Higher-dimensional gamma matrices}}
* {{нп5|Уравнения Йооса–Вайнберга|Уравнения Йооса–Вайнберга|en|Joos–Weinberg equations}} — альтернативные уравнение, описывающие свободные частицы с любым спином.
* {{нп5|Теория высших спинов|Теория высших спинов|en|Higher-spin theory}}
{{кол|конец}}

== Источники ==

=== Примечания ===
{{Примечания}}

=== Дальнейшее чтение ===
==== Книги ====
{{refbegin}}
*{{citation
 | last = Weinberg
 | first = S
 | title = The Quantum Theory of Fields, vol II
}}
*{{citation
 | last = Weinberg
 | first = S
 | title = The Quantum Theory of Fields, vol III
}}
*{{cite book |author=R. Penrose| title=The Road to Reality| publisher= Vintage books| year=2007 | isbn=978-0-679-77631-4| title-link=The Road to Reality}}
{{refend}}

==== Избранные статьи ====
{{refbegin}}

*{{cite journal
 |author=E. N. Lorenz
 |year=1941
 |title=A Generalization of the Dirac Equations
 |journal=PNAS
 |volume=27 |issue=6 |pages=317–322
 |bibcode= 1941PNAS...27..317L
 |doi= 10.1073/pnas.27.6.317
 |pmc=1078329
 |pmid=16588466
|doi-access=free
 }}
*{{cite journal
 |author=V. V. Dvoeglazov
 |year=2011
 |title=The modified Bargmann-Wigner formalism for higher spin fields and relativistic quantum mechanics
 |journal=International Journal of Modern Physics: Conference Series
 |volume=03
 |pages=121–132
 |doi=10.1142/S2010194511001218
}}
*{{cite conference
 |author=D. N. Williams
 |year=1965
 |title=The Dirac Algebra for Any Spin
 |url=http://www-personal.umich.edu/~williams/papers/diracalg.pdf
 |book-title=Lectures in Theoretical Physics
 |publisher=University Press of Colorado
 |volume=7A |pages=139–172
}}
*{{cite journal
 |author1=H. Shi-Zhong |author2=Z. Peng-Fei |author3=R. Tu-Nan |author4=Z. Yu-Can |author5=Z. Zhi-Peng |year=2004
 |title=Projection Operator and Feynman Propagator for a Free Massive Particle of Arbitrary Spin
 |url=http://ctp.itp.ac.cn/EN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=8425
 |journal=Communications in Theoretical Physics
 |volume=41 |issue=3 |pages=405–418
 |bibcode=2004CoTPh..41..405H
 |doi=10.1088/0253-6102/41/3/405
}}
*{{Cite journal|author=V. P. Neznamov
 |year=2006
 |title=On the theory of interacting fields in Foldy-Wouthuysen representation
 |journal=Phys. Part. Nucl.
 |volume=37
 |issue=2006
 |pages=86–103
 |arxiv=hep-th/0411050
|bibcode = 2004hep.th...11050N |doi=10.1134/S1063779606010023
 |s2cid=16681061
 }}
*{{cite news
 |author=H. Stumpf
 |year=2004
 |title=Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations, a Modern Formulation of de Broglie's Fusion Theory
 |journal=Annales de la Fondation Louis de Broglie
 |volume=29 |issue=Supplement |page=785
 |url=http://aflb.ensmp.fr/AFLB-295/aflb295m307.pdf
}}
*{{cite arXiv
 |author1=D. G. C. McKeon |author2=T. N. Sherry |year =2004
 |title =The Bargmann–Wigner Equations in Spherical Space
 |eprint=hep-th/0411090
}}
*{{cite news
 |author1=R. Clarkson 
 |author2=D. G. C. McKeon 
 |year=2003 
 |title=Quantum Field Theory 
 |pages=61–69 
 |url=http://www.apmaths.uwo.ca/people/QFTNotesAll.pdf 
 |url-status=dead 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090530181029/http://www.apmaths.uwo.ca/people/QFTNotesAll.pdf 
 |archive-date=2009-05-30 
 |access-date=2016-10-27 
}}
*{{cite news
 |author=H. Stumpf
 |year=2002
 |title=Eigenstates of Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations for Photons with Partonic Substructure
 |journal=Z. Naturforsch.
 |volume=57 |pages=726–736
 |url=http://www.znaturforsch.com/aa/v57a/s57a0723.pdf
}}
*{{Cite journal
 |author=B. Schroer
 |year=1997
 |title=Wigner Representation Theory of the Poincare Group, Localization , Statistics and the S-Matrix
 |journal=Nuclear Physics B
 |volume=499
 |issue=3
 |pages=519–546
 |arxiv=hep-th/9608092
|doi=10.1016/S0550-3213(97)00358-1
 |bibcode = 1997NuPhB.499..519S |s2cid=18003852
 }}
*{{cite journal
 |author1=E. Elizalde |author2=J.A. Lobo |year=1980
 |journal=Physical Review D
 |volume=22 |issue=4 |pages=884
 |title=From Galilean-invariant to relativistic wave equations
 |url=http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/12327/1/4773.pdf
 |doi=10.1103/physrevd.22.884
|bibcode = 1980PhRvD..22..884E }}
*{{Cite journal
 |author=D. V. Ahluwalia
 |title=Book Review: The Quantum Theory of Fields Vol. I and II by S. Weinberg
 |journal=Found. Phys.
 |volume=10
 |issue=3
 |pages=301–304
 |arxiv=physics/9704002
 |year=1997
 |doi=10.1007/bf02764211
|bibcode = 1997FoPhL..10..301A |s2cid=189940978
 }} 
*{{Cite journal
 |author=J. A. Morgan
 |title=Parity and the Spin-Statistics Connection
 |journal=Pramana
 |volume=65
 |issue=3
 |pages=513–516
 |arxiv=physics/0410037
 |year=2005
|doi=10.1007/BF02704208
 |bibcode = 2005Prama..65..513M |s2cid=119416196
 }} 
{{refend}}

== Внешние ссылки ==
Релятивистские волновые уравнения:
*[http://demonstrations.wolfram.com/DiracMatricesInHigherDimensions/ ''Dirac matrices in higher dimensions'', Wolfram Demonstrations Project]
*[http://bio.phys.unm.edu/pubs/EJP27_29.pdf ''Learning about spin-1 fields'', P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico]{{Dead link|date=June 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*[http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v78/i10/p1023_s1?isAuthorized=no ''Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism'', R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics]
*[http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~mojzis/qft.pdf ''Quantum field theory I'', Martin Mojzis]
*[http://physics.ipm.ac.ir/conferences/icsw07/notes/qassemi.pdf ''The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin'', FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran]

[[Группа Лоренца|Группы Лоренца]] в релятивистской квантовой физике:
*[https://web.archive.org/web/20181123185704/http://www.physics.indiana.edu/~dermisek/QFT_08/qft-I-14-4p.pdf ''Representations of Lorentz Group'', indiana.edu]
*[http://www.physics.mcgill.ca/~guymoore/appendixC.pdf ''Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra'', mcgill.ca]{{Dead link|date=June 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*[https://web.archive.org/web/20120427193321/http://physics.uoregon.edu/~soper/QFT/wigner.pdf ''The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics'', D. E. Soper, University of Oregon, 2011]
*[http://einrichtungen.ph.tum.de/T30f/lec/QFT/groups.pdf ''Representations of Lorentz and Poincare groups'', J. Maciejko, Stanford University]
*[http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf ''Representations of the Symmetry Group of Spacetime'', K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009]

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Математическая физика]]