Просмотр кода страницы Уравнения Фёппля — фон Кармана

'''Уравнения Фёппля — фон Кармана''' — уравнения в теории упругости названы в честь [[Фёппль, Август|Августа Фёппля]]<ref>Föppl А., "Ворлесунген über технический механик", ''Б. Г. Теубнер'', бул. 5., С. 132, Лейпциг, Германия (1907)</ref> и [[Карман, Теодор фон|Теодора фон Кармана]],<ref>фон Kármán, т., "Festigkeitsproblem им Машиненбау," ''Encyk. ''</ref> представляют собой набор нелинейных [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальных уравнений]], описывающих большие прогибы тонких плоских пластин.<ref>Э. Серда и Л. Махадеван, 2003, "геометрия и физика Сморщивать" [http://prola.aps.org/abstract/PRL/v90/i7/e074302 физ.]</ref> Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до  механических свойств клеточной стенки.<ref>{{Cite web |url=http://focus.aps.org/story/v27/st6 |title=Physics - Simplifying Crumpled Paper<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2019-04-16 |archive-date=2011-09-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110927073012/http://focus.aps.org/story/v27/st6 |deadlink=no }}</ref> Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид:
<ref name='ld'>"Теория упругости". </ref>

:<math>
 \begin{align}
   (1) \qquad & \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\nabla^4 w-h\frac{\partial}{\partial x_\beta}\left(\sigma_{\alpha\beta}\frac{\partial w}{\partial x_\alpha}\right)=P \\
   (2) \qquad & \frac{\partial\sigma_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta}=0
 \end{align}
</math>

где {{Math|''E''}} — [[модуль Юнга]] материала пластины (предполагается однородной и изотропной), {{Math|''υ''}} — [[коэффициент Пуассона]], {{Math|''h''}} — толщина пластины, {{Math|''w''}} — прогиб пластины вне плоскости, {{Math|''P''}} — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, {{Math|''σ''<sub>''αβ''</sub>}} — [[тензор напряжений]], и {{Math|''α'', ''β''}} — [[Соглашение Эйнштейна|индексы]], которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный [[Бигармоническая функция|бигармонический оператор]] определяется как<ref>The 2-dimensional [[Оператор Лапласа|Laplacian]], {{Math|Δ}}, is defined as
<math> \Delta w := \frac{\partial^2 w}{\partial x_\alpha \partial x_\alpha} = \frac{\partial^2w}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2w}{\partial x_2^2} </math></ref>

:<math>
   \nabla^4 w := \frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\alpha}\left[\frac{\partial^2 w}{\partial x_\beta \partial x_\beta}\right]
     = \frac{\partial^4 w}{\partial x_1^4} + \frac{\partial^4 w}{\partial x_2^4} + 2\frac{\partial^4 w}{\partial x_1^2 \partial x_2^2} \,.
 </math>

Уравнение (1) можно получить из [[Кинематика|кинематических]] допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения ({{Math|''σ''<sub>33</sub>,''σ''<sub>13</sub>,''σ''<sub>23</sub>}}) равны нулю.

== Границы применимости ==
Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно.<ref>{{Cite web |url=http://imechanica.org/node/6618 |title=von Karman plate equations |access-date=2019-04-16 |archive-date=2019-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190416160554/https://imechanica.org/node/6618 |deadlink=no }}</ref> Ciarlet<ref name='Ciarlet'>{{Citation|last=Ciarlet|first=P. G.|year=1990|title=Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures|publisher=Springer-Verlag.}}</ref> утверждает, что: ''двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто ''и с достаточной точностью'' изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению.'' Причины включают в себя следующие факты:

# теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
# произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
# используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
# произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
# существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.

Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.<ref name='Ciarlet' /><ref>{{Citation|last=Ciarlet|first=Philippe G.|title=A justification of the von Kármán equations|year=1980}}</ref>

== Уравнения в терминах функции напряжений Эйри ==
Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри <math>\varphi</math>, где

: <math>
  \sigma_{11} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2^2} ~,~~
  \sigma_{22} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1^2} ~,~~
  \sigma_{12} = - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1 \partial x_2} \,.
 </math>

Затем эти уравнения сводятся к<ref name='ld' />

: <math>
\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\Delta^2 w-h\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \, \partial x_2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)=P
</math>
: <math>
\Delta^2\varphi+E\left\{\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)^2\right\}=0 \,.
</math>

== Чистый изгиб ==
Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия <math>D\Delta^2\ w=P</math>, где

: <math>
D :=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}
</math>

называется изгибной или ''цилиндрической жесткостью'' пластины.<ref name='ld' />

== Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа) ==
При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как '''гипотеза Кирхгофа'''): [[Нормаль|нормали к поверхности]] пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения {{Math|'''u'''}} пластины можно выразить как<ref>{{Citation|last=Ciarlet|first=Philippe G.|title=A justification of the von Kármán equations|journal=Archive for Rational Mechanics and Analysis|volume=73|year=1980|pages=349–389.|issue=4|doi=10.1007/BF00247674}}</ref>

: <math>
  u_1(x_1,x_2,x_3) = v_1(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_1} ~,~~
  u_2(x_1,x_2,x_3) = v_2(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_2} ~,~~
  u_3(x_1, x_2, x_3) = w(x_1,x_2) 
 </math>

где {{Math|'''v'''}} — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

== Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана) ==
Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

: <math>
  E_{ij} := \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} 
          + \frac{\partial u_k}{\partial x_i}\,\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right] \,.
 </math>

Подстановка выражений для поля смещения даёт

: <math>
  \begin{align}
    E_{11} & = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}
                   + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)^2\right]\\
           &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                  + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)^2
                   + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2\right]\\ 
     E_{22} & = \frac{\partial u_2}{\partial x_2} 
                   + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)^2\right]\\
            &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
                + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2
                   + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2\right]\\ 
     E_{33} & = \frac{\partial u_3}{\partial x_3}
                   + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)^2\right]\\
            &=  \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2
                   + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2
                   \right]\\
     E_{12} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1}  
                   + \frac{\partial u_1}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_2}
                   + \frac{\partial u_2}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_2}
                   + \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right]\\
            & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
                   + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right)
                   + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)
                   + \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right]\\
     E_{23} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} 
                   + \frac{\partial u_1}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_3}
                   + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_3}
                   + \frac{\partial u_3}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right]\\
            & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)
                   + x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)
                  \right]\\
     E_{31} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_3} 
                   + \frac{\partial u_1}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_1}
                   + \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_1}
                   + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right] \\
           & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)
                   + x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)
                   \right]
  \end{align}
 </math>

Для малых деформаций, но '''умеренных поворотов''', поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

:<math>
   \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 ~,~~  \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 ~,~~
   \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} \,.
 </math>

Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду '''деформаций фон Кармана'''

: <math>
 \begin{align}
   E_{11} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
         + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \\ 
   E_{22} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
        + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \\ 
   E_{12} & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
          + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\\
   E_{33} & = 0 ~,~~ E_{23} = 0 ~,~~ E_{31} = 0 \,.
 \end{align}
 </math>

== Соотношения напряжения–деформации ==
Если предположить, что компоненты [[Тензор напряжений|тензора напряжений Коши]] линейно связаны с '''деформациями''' фон Кармана посредством [[Закон Гука|закона Гука]], пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям<ref>Как правило, предположение о '''нулевой плоскости напряжений''' производится в этот момент.</ref> мы имеем {{Math|''σ''<sub>33</sub>}} = {{Math|''σ''<sub>13</sub>}} = {{Math|''σ''<sub>23</sub>}} = 0 и

: <math>
  \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
  = \cfrac{E}{(1-\nu^2)}
  \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
          \nu & 1 & 0 \\         
          0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} E_{11} \\ E_{22} \\ E_{12} \end{bmatrix}
 </math>

Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

: <math>
  \begin{align}
    \sigma_{11} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                  + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + 
                  \nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
                + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\
    \sigma_{22} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                  + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + 
                  \left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
                + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\
    \sigma_{12} &= \cfrac{E}{(1+\nu)}\left[-x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
                   + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right] \,.
  \end{align}
 </math>

== Результирующие напряжения ==
Результирующие напряжения в пластине определяются как

:<math>
   N_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 ~,~~
   M_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} x_3\,\sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 \,.
 </math>

Поэтому

: <math>
  \begin{align}
    N_{11} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 
                + \nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right] \\
    N_{22} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2                   
                + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2  \right] \\
    N_{12} &= \cfrac{Eh}{2(1+\nu)}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} 
  \end{align}
 </math>

и

: <math>
  \begin{align}
    M_{11} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}  \right] \\
    M_{22} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}  \right] \\
    M_{12} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1+\nu)}\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} \,.
  \end{align}
 </math>

Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

== Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения ==
Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом [[Вариационное исчисление|изменения]] внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

: <math>
  \begin{align}
  &\frac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} + 2\frac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1\partial x_2} +
  \frac{\partial}{\partial x_1}\left(N_{11}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) +
  \frac{\partial}{\partial x_2}\left(N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{22}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) = P \\
  & \frac{\partial N_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta} = 0 \,.
  \end{align}
 </math>

== Ссылки ==
{{reflist|3}}

[[Категория:Механика сплошных сред]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]