Уравнения Фёппля — фон Кармана

Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля и Теодора фон Кармана, представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин. Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки. Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид:

$\begin{array}{cc}(1)& \frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}{\mathrm{\nabla }}^{4}w-h\frac{\partial }{\partial x_{\beta }}\left({\sigma }_{\alpha \beta }\frac{\partial w}{\partial x_{\alpha }}\right)=P\\ (2)& \frac{\partial {\sigma }_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}=0\end{array}$

где Шаблон:Math — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), Шаблон:Math — коэффициент Пуассона, Шаблон:Math — толщина пластины, Шаблон:Math — прогиб пластины вне плоскости, Шаблон:Math — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, Шаблон:Math — тензор напряжений, и Шаблон:Math — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как

${\mathrm{\nabla }}^{4}w:=\frac{{\partial }^2}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}\left[\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}\right]=\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^4}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_2^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^2\partial x_2^2}.$

Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (Шаблон:Math) равны нулю.

Границы применимости

Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно. Ciarlet утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:

1. теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
2. произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
3. используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
4. произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
5. существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.

Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.

Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри $\phi$, где

${\sigma }_{11}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2^2},{\sigma }_{22}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1^2},{\sigma }_{12}=-\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1\partial x_2}.$

Затем эти уравнения сводятся к

$\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}{\mathrm{\Delta }}^{2}w-h(\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}-2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1\partial x_2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2})=P$

${\mathrm{\Delta }}^2\phi +E\{\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)}^2\}=0.$

Чистый изгиб

Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия $D{\mathrm{\Delta }}^{2}w=P$, где

$D:=\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}$

называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.

Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения Шаблон:Math пластины можно выразить как

$u_1(x_1,x_2,x_3)=v_1(x_1,x_2)-x_3\frac{\partial w}{\partial x_1},u_2(x_1,x_2,x_3)=v_2(x_1,x_2)-x_3\frac{\partial w}{\partial x_2},u_3(x_1,x_2,x_3)=w(x_1,x_2)$

где Шаблон:Math — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

$E_{ij}:=\frac{1}{2}[\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}].$

Подстановка выражений для поля смещения даёт

$\begin{array}{cc}{E}_{11}& =\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+\frac{1}{2}[{\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)}^2]\\ & =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{1}{2}[x_3^2{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}\right)}^2+x_3^2{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2]\\ E_{22}& =\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+\frac{1}{2}[{\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)}^2]\\ & =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}+\frac{1}{2}[x_3^2{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)}^2+x_3^2{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2]\\ E_{33}& =\frac{\partial u_3}{\partial x_3}+\frac{1}{2}[{\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)}^2]\\ & =\frac{1}{2}[{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2]\\ E_{12}& =\frac{1}{2}[\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\frac{\partial u_3}{\partial x_2}]\\ & =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{1}{2}[x_3^2\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)+x_3^2\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}\right)+\frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial w}{\partial x_2}]\\ E_{23}& =\frac{1}{2}[\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\frac{\partial u_3}{\partial x_3}]\\ & =\frac{1}{2}[x_3\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)+x_3\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)]\\ E_{31}& =\frac{1}{2}[\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\frac{\partial u_3}{\partial x_1}]\\ & =\frac{1}{2}[x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}\right)+x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}\right)]\end{array}$

Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

${\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2,{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2,\frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial w}{\partial x_2}.$

Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана

$\begin{array}{cc}{E}_{11}& =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2\\ E_{22}& =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2\\ E_{12}& =-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{1}{2}\frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial w}{\partial x_2}\\ E_{33}& =0,E_{23}=0,E_{31}=0.\end{array}$

Соотношения напряжения–деформации

Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям мы имеем Шаблон:Math = Шаблон:Math = Шаблон:Math = 0 и

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_{11}\\ E_{22}\\ E_{12}\end{array}\right]$

Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& =\frac{E}{(1-{\nu }^2)}[(-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2)+\nu (-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2)]\\ {\sigma }_{22}& =\frac{E}{(1-{\nu }^2)}[\nu (-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2)+(-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2)]\\ {\sigma }_{12}& =\frac{E}{(1+\nu )}[-x_3\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{1}{2}\frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial w}{\partial x_2}].\end{array}$

Результирующие напряжения

Результирующие напряжения в пластине определяются как

$N_{\alpha \beta }:=\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3,M_{\alpha \beta }:=\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3.$

Поэтому

$\begin{array}{cc}{N}_{11}& =\frac{Eh}{2(1-{\nu }^2)}[{\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2+\nu {\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2]\\ N_{22}& =\frac{Eh}{2(1-{\nu }^2)}[\nu {\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)}^2]\\ N_{12}& =\frac{Eh}{2(1+\nu )}\frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial w}{\partial x_2}\end{array}$

и

$\begin{array}{cc}{M}_{11}& =-\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}[\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}]\\ M_{22}& =-\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}[\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_2^2}]\\ M_{12}& =-\frac{E{h}^3}{12(1+\nu )}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x_1\partial x_2}.\end{array}$

Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

$\begin{array}{cc}& \frac{{\partial }^2{M}_{11}}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{M}_{22}}{\partial x_2^2}+2\frac{{\partial }^2{M}_{12}}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{\partial }{\partial x_1}(N_{11}\frac{\partial w}{\partial x_1}+N_{12}\frac{\partial w}{\partial x_2})+\frac{\partial }{\partial x_2}(N_{12}\frac{\partial w}{\partial x_1}+N_{22}\frac{\partial w}{\partial x_2})=P\\ & \frac{\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}=0.\end{array}$