Бигармоническая функция

Бигармоническая функция — функция $f(x)=f(x_1,\dots ,x_n)$ действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства ${ℝ}^n,n\ge 2$, имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

${\mathrm{\nabla }}^{4}f={\mathrm{\Delta }}^{2}f=0$

где $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа.

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

$\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^4}+\frac{{\partial }^{4}f}{\partial y^4}+\frac{{\partial }^{4}f}{\partial z^4}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^2\partial y^2}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial y^2\partial z^2}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^2\partial z^2}=0.$

В полярных координатах:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\partial }^{4}f}{\partial {\theta }^2\partial r^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\partial }^{4}f}{\partial {\theta }^4}-\frac{2}{r^3}\frac{{\partial }^{3}f}{\partial {\theta }^2\partial r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}=0.$

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат x_i.

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции $f(x_1,x_2)$ двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f₁, f₂ или g₁, g₂ в виде

$f(x_1,x_2)=x_1{f}_1(x_1,x_2)+f_2(x_1,x_2)$

или

$f(x_1,x_2)=(r^2-r_0^2)g_1(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)$

где $r^2=x_1^2+x_2^2,$ а $r_0^2$ — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области $\overline{D}=D\cup C$ , удовлетворяющую на границе C условиям

$f{|}_C=f_1(s),\frac{\partial f}{\partial \nu }{|}_C=f_2(s)$

где $\frac{\partial f}{\partial \nu }$ — производная по нормали до C, f₁(s), f₂(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

$f(x_1,x_2)=\mathrm{Re}(\overline{z}\varphi (z)+\psi (z))=\frac{1}{2}(\overline{z}\varphi (z)+z\overline{\varphi (z)}+\psi (z)+\overline{\psi (z)}),\overline{z}=x_1-i{x}_2$

с помощью двух аналитических функций $\varphi (z),\psi (z)$ комплексной переменной $z=x_1+i{x}_2$. Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.

См. также

• Гармоническая функция

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
• Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.