Просмотр кода страницы Усечённый кубооктаэдр

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Усечённый кубооктаэдр
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Truncatedcuboctahedron.jpg|200px|Усечённый кубооктаэдр]]
|-
|align=center colspan=2| [[Файл:Truncatedcuboctahedron.gif |200px|Усечённый кубооктаэдр]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип||[[Полуправильный многогранник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Грань||[[квадрат]], <br>[[шестиугольник]], <br>[[восьмиугольник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Граней||<math>26</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Рёбер||<math>72</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Вершин||<math>48</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Граней при вершине||<math>3</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Телесный угол||
4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08"<br>4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135°<br>6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Точечная группа симметрии|Точечная группа<br>симметрии]]||Октаэдрическая,<br>[4,3]{{sup|+}}, (432), порядок 24
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник|Двойственный<br>многогранник]]||[[Гекзакисоктаэдр]]<br>[[Файл:Disdyakisdodecahedron.jpg|100px|Ромбоусечённый додекаэдр]]
|-
||Развёртка||[[Файл:Truncated cuboctahedron flat.svg|200px|Развёртка]]
|-
||[[Файл:Great rhombicuboctahedron.png|100px|Раскраска граней]]<br>С раскраской<br>граней ||[[Файл:Great rhombicuboctahedron vertfig.png|100px|Вершинная фигура]]
<br>Вершинная фигура
|}
'''Усечённый кубооктаэдр'''{{sfn|Веннинджер|1974|с=39}}{{sfn|Люстерник|1956|с=184}}, '''усечённый кубоктаэдр'''{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 434}} — [[полуправильный многогранник]] (архимедово тело) с 12 [[квадрат]]ными гранями, 8 гранями в виде правильного [[шестиугольник]]а, 6 гранями в виде правильного [[восьмиугольник]]а, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет [[Центральная симметрия|центральную симметрию]] (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является [[зоноэдр]]ом.

== Другие названия ==
Этот многогранник имеет несколько названий:
* ''Усечённый кубооктаэдр'' ([[Кеплер, Иоганн|Иоганн Кеплер]])
* ''Ромбоусечённый кубооктаэдр'' ([[Веннинджер, Магнус|Магнус Веннинджер]]{{sfn|Веннинджер|1974|с=20, 39}}{{sfn|Wenninger|1974|с=29}})
* ''Большой ромбокубооктаэдр'' ({{нп5|Вильямс, Роберт (геометр)|Роберт Вильямс||Robert Williams (geometer)}} {{sfn|Williams|1979|с=82}})
* ''Большой ромбокубооктаэдр'' (Питер Кромвель {{sfn|Cromwell|1997|с=82}})
* ''Общеусечённый куб'' (omnitruncated cube) или ''скос-усечённый куб'' (cantitruncated cube) ({{нп5|Джонсон, Норман (математик)|Норман Джонсон||Norman Johnson (mathematician)}})

Название ''усечённый кубооктаэдр'', данное первоначально [[Кеплер, Иоганн|Иоганном Кеплером]], несколько вводит в заблуждение. [[Усечение (геометрия)|Усечение]] [[кубооктаэдр]]а путём отсечения углов (вершин) '''не''' позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут [[прямоугольник]]ами. Однако полученная фигура [[Топология|топологически]] эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — ''большой ромбокубооктадр'' — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней [[ромбододекаэдр]]а, который двойственен кубооктаэдру. Ср. [[малый ромбокубооктаэдр]].

Также существует {{нп5|невыпуклый однородный многогранник|||nonconvex uniform polyhedron}} с тем же именем — {{нп5|невыпуклый большой ромбокубооктаэдр|||Nonconvex great rhombicuboctahedron}}.

== Декартовы координаты ==
[[Прямоугольная система координат|Декартовы координаты]] вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются [[перестановка]]ми чисел:
: (±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

== Площадь и объём ==
Площадь ''A'' и объём ''V'' усечённого кубооктаэдра с ребром длины ''a'' равны:
: <math>A = 12\left(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) a^2 \approx 61.7551724a^2</math>
: <math>V = \left(22+14\sqrt{2}\right) a^3 \approx 41.7989899a^3.</math>

== Рассечение ==
Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный [[ромбокубооктаэдр]] с 6 {{нп5|Квадратный купол (геометрия)|квадратными куполами||square cupola}} над первичными квадратными гранями, 8 {{нп5|Треугольный купол (геометрия)|треугольными куполами||triangular cupola}} над треугольными гранями и 12 [[куб]]ами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать {{нп5|Тороид Стюарта|тороиды Стюарта||Stewart toroid}} рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию{{sfn|Stewart|1970}}<ref>{{Cite web |url=http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html |title=Adventures Among the Toroids — Chapter 5 — Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-11-08 |archive-date=2016-02-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160204010023/http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html |deadlink=no }}</ref>.

{| class=wikitable
|+ Тороиды Стюарта
|-
!Род 3
!Род 5
!Род 7
!Род 11
|-
|[[Файл:Excavated truncated cuboctahedron4.png|160px]]
|[[Файл:Excavated truncated cuboctahedron2.png|160px]]
|[[Файл:Excavated truncated cuboctahedron3.png|160px]]
|[[Файл:Excavated truncated cuboctahedron.png|160px]]
|}

== Однородные раскраски ==
Существует только одна [[однородная раскраска]] граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральной симметрией]] с раскраской шестиугольников в два цвета.

== Ортогональные проекции ==
Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные [[Ортогональная проекция|ортогональные проекции]] в A{{sub|2}} и B{{sub|2}} [[Число Кокстера|плоскости Коксетера]] с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.
{|class=wikitable
|+ Ортогональные проекции
|-
!Центрированы относительно
!Вершины
!Ребра<br>4-6
!Ребра<br>4-8
!Ребра<br>6-8
!Нормали к грани<br>4-6
|-
!Изображение
|[[Файл:Cube t012 v.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 e46.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 e48.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 e68.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 f46.png|100px]]
|- align=center
!Проективная<br>симметрия
|[2]{{sup|+}}
|[2]
|[2]
|[2]
|[2]
|-
!Центрированы относительно
!Нормали к<br>квадрату
!Нормали к<br>восьмиграннику
!Квадратной<br>грани
!Шестиугольной<br>грани
!Восьмиугольной<br>грани
|-
!Изображение
|[[Файл:Cube t012 af4.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 af8.png|100px]]
|[[Файл:Cube t012 f4.png|100px]]
|[[Файл:3-cube t012.svg|100px]]
|[[Файл:3-cube t012 B2.svg|100px]]
|- align=center
!Проективная<br>симметрия
|[2]
|[2]
|[2]
|[6]
|[8]
|}

== Сферические мозаики ==
Усечённый кубооктаэдр можно представить как [[Сферическая мозаика|сферическую мозаику]] и спроектировать на плоскость с помощью [[Стереографическая проекция|стереографической проекции]]. Эта проекция [[Конформное отображение|конформна]], она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.
{|class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:Uniform tiling 432-t012.png|160px]]
|[[Файл:truncated cuboctahedron stereographic projection square.png|160px]]<br>[[квадрат]]-центрированная
|[[Файл:truncated cuboctahedron stereographic projection hexagon.png|160px]]<br>[[шестиугольник]]-центрированная
|[[Файл:truncated cuboctahedron stereographic projection octagon.png|160px]]<br>[[восьмиугольник]]-центрированная
|-
![[Ортогональная проекция]]
!colspan=3|[[Стереографическая проекция|Стереографические проекции]]
|}

== Связанные многогранники ==
Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

{{Октаэдральные усечения}}

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммой Коксетера — Дынкина]] {{CDD|node_1|p|node_1|3|node_1}}. Для ''p'' &lt; 6 члены последовательности являются {{нп5|Общеусечение (геометрия)|общеусечёнными||Omnitruncation (geometry)}} многогранниками ([[зоноэдр]]ами), показанными ниже как сферические мозаики. Для ''p'' &gt; 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с {{нп5|Усечённая трисемиугольная мозаика|усечённой трисемиугольной мозаики||truncated triheptagonal tiling}}.
{{Таблица полностью усечённых мозаик}}
{{Таблица-4 полностью усечённых мозаик}}

== Граф усечённого кубооктаэдра ==
{{Граф
 | Название = Граф усечённого кубооктаэдра
 | Изображение = Truncated cuboctahedral graph.png
 | namesake = 
 | Вершин = 48
 | Рёбер = 72
 | Автоморфизмы = 48
 | Обхват = 
 | Радиус = 
 | Диаметр = 
 | Хроматическое число = 2
 | Хроматический индекс = 
 | Свойства = [[Кубический граф|кубический]]
<br>[[Гамильтонов граф|гамильтонов]]
<br>[[Регулярный граф|регулярный]], 
<br>{{нп5|Нуль-симметричный граф|нуль-симметричный||Zero-symmetric graph}}
}}


В [[Теория графов|теории графов]] '''граф усечённого кубооктаэдра''' (или '''граф большого ромбокубооктаэдра''') — это {{нп5|1-скелет|граф вершин и рёбер||1-skeleton}} усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, {{нп5|Нуль-симметричный граф|нульсимметричен||zero-symmetric graph}} и является [[Кубический граф|кубическим]] [[Архимедов граф|архимедовым графом]] {{sfn|Read, Wilson|1998|с=269}}.

{{-}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin}}
* {{книга
 |автор = [[Веннинджер, Магнус|М. Веннинджер]]
 |заглавие = Модели многогранников
 |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год = 1974
 |ref = Веннинджер
}}
* {{книга
 |заглавие = {{ifexist|Энциклопедия элементарной математики}}. Книга четвёртая. Геометрия
 |издательство = [[Государственное издательство физико-математической литературы]]
 |место = М.
 |год = 1963
 |ответственный = Под ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевича]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчина]]
 |часть = Многоугольники и многогранники
 |страницы = 382—447
 |ref = Энциклопедия элементарной математики
}}
* {{книга
 |автор = [[Люстерник, Лазарь Аронович|Л. А. Люстерник]]
 |заглавие = Выпуклые фигуры и многогранники
 |место = М.
 |издательство = [[Государственное издательство технико-теоретической литературы]]
 |год = 1956
 |ref = Люстерник
}}
* {{книга
 |автор=Magnus Wenninger
 |заглавие=Polyhedron Models 
 |издательство=[[Cambridge University Press]] 
 |isbn=978-0-521-09859-5 
 |mr=0467493 
 |год=1974
 |ref=Wenninger
}} (Модель 15, стр. 29)
* {{книга
 |автор=Robert Williams
 |год=1979
 |заглавие=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
 |ссылка=https://archive.org/details/geometricalfound00will
 |издательство=Dover Publications, Inc.
 |ISBN=0-486-23729-X.
 |ref=Williams
}} (Секция 3-9, стр. 82)
* {{книга
 |автор=P. Cromwell
 |ref=Cromwell
 |год=1997
 |url=http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82#v=onepage&q=&f=false 
 |заглавие=Polyhedra
 |место=United Kingdom
 |издательство=Cambridge
 |страницы=79–86 ''Archimedean solids''
 |isbn=0-521-55432-2
}}
* {{книга
 |автор=R.C. Read, R.J. Wilson
 |заглавие=An Atlas of Graphs
 |издательство=Oxford University Press
 |год=1998
 |ref=Read, Wilson
}}
* {{книга
 |автор=B. M. Stewart
 |заглавие=Adventures Among the Toroids
 |год=1970
 |ISBN=978-0-686-11936-4
 |ref=Stewart
}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{mathworld |urlname=GreatRhombicuboctahedralGraph |title=Great rhombicuboctahedral graph}}
* [http://mathworld.wolfram.com/GreatRhombicuboctahedron.html 3D convex uniform polyhedra]
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=K1RB4IgXRIYFsRCy4aHC6dnfSy7rq2q4f3v4yl4nRAbEtZul3CvUo1k8TrBjkgTqbZvaXjrwBrfylwUDWC8lfzMM1h1E0NDKFJh7udiMaOsp1DWdM1xR11UHzHVHzVTY4gCc1nRXW879CvTzcUwX9wUb4vJUXWfCEBFZvcR1dJrJyE4FpNhyWBHvw6Qyuph3rT9jgDZRKNn8FaEqBr5dZ1o9SBpnEObkMMx31INNrEf75EZOWGdEXwvDNeJIuKbtorvRJHy4iYcMHnYO1v1axRBQudr31fS0np5Jn7nuzR0Vx&name=Truncated+Cuboctahedron#applet Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/grko/indexeng.htm great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting]

{{Многогранники|nocat=1}}

[[Категория:Однородные многогранники]]
[[Категория:Архимедовы тела]]
[[Категория:Усечённые мозаики]]