Просмотр кода страницы Фильтрация (случайные процессы)

{{Другие значения|Фильтрация}}

'''Фильтра́ция''' в [[Теория случайных процессов|теории случайных процессов]] — неубывающее семейство [[Сигма-алгебра|σ-алгебр]].

== Определение ==
Пусть дано [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> и [[множество|подмножество]] [[Вещественное число|числовой прямой]] <math>T \subset \mathbb{R}</math>. Семейство [[Сигма-алгебра|σ-алгебр]] <math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math> такое, что
: <math>\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F},\quad  \forall s \le t,\; s,t \in T,</math>
называется '''фильтра́цией вероя́тностного простра́нства''' <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>.

== Естественная фильтрация случайного процесса ==
Пусть дан [[случайный процесс]] <math>\{X_t\}_{t \in T}</math>, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим
: <math>\mathcal{F}^X_t = \sigma\{X_s \mid s \le t, \; s\in T\},\quad t \in T.</math>.
Тогда семейство <math>\left\{\mathcal{F}^X_t\right\}_{t \in T}</math> является фильтрацией и называется '''есте́ственной''' фильтрацией случайного процесса <math>\{X_t\}</math>.

== См. также ==
* [[Марковский процесс]]
* [[Мартингал]]

== Литература ==
* [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=141&option_lang=rus ''Скороход А. В.'' Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189—270]
* ''[[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяев А. Н.]]'' Вероятность, — М.: Наука, 1989.

{{math-stub}}

[[Категория:Случайные процессы]]