Фильтрация (случайные процессы)

Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(Ω, ℱ, ℙ)$ и подмножество числовой прямой $T \subset ℝ$ . Семейство σ-алгебр ${ℱ_{t}}_{t \in T}$ такое, что

ℱ_{s} \subset ℱ_{t} \subset ℱ, \forall s \leq t, s, t \in T,

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства $(Ω, ℱ, ℙ)$ .

Пусть дан случайный процесс ${X_{t}}_{t \in T}$ , определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

ℱ_{t}^{X} = σ {X_{s} ∣ s \leq t, s \in T}, t \in T .

.

Тогда семейство ${ℱ_{t}^{X}}_{t \in T}$ является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса ${X_{t}}$ .