Просмотр кода страницы Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

{{ОТО}}
[[Файл:ArnowittDeserMisner2009 01.jpg|thumb|240px|{{нп5|Ароновитт, Ричард|Ричард Арновитт||Richard Arnowitt}}, [[Дезер, Стенли|Стенли Дезер]] и [[Мизнер, Чарльз|Чарльз Мизнер]] на конференции ''ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation'',<ref>{{Cite web |url=http://adm-50.physics.tamu.edu/ |title=ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation |access-date=2021-06-28 |archive-date=2011-07-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110720054726/http://adm-50.physics.tamu.edu/ |deadlink=yes }}</ref> в честь 50-летия их основной работы, ноябрь 2009 года.]]

'''Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм''' {{l6e||ADM formalism}} — разработанная в 1959 году {{нп5|Ароновитт, Ричард|Ричардом Арновиттом||Richard Arnowitt}}, [[Дезер, Стэнли|Стенли Дезером]] и [[Мизнер, Чарльз|Чарльзом Мизнером]] [[Гамильтонова механика|гамильтонова формулировка]] [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]. Она играет важную роль в [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]] и [[Численная относительность|численной относительности]].

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» {{l6e||The Dynamics of General Relativity}} был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией [[Виттен, Луис|Луиса Виттена]], Wiley NY (1962); chapter 7, pp.&nbsp;227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в [[Эйнштейновский сборник|Эйнштейновском сборнике]]<ref>{{книга|автор=Р. АРНОВИТТ, С. ДИЗЕР и К. В. МИСНЕР.|часть=ДИНАМИКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ|заглавие={{Книга:Эйнштейновский сборник|1967|страницы=233—286}}}}</ref>. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале [[General Relativity and Gravitation]] в серии классических работ по гравитации<ref>
{{статья
|doi=10.1007/s10714-008-0661-1
|arxiv=gr-qc/0405109
|заглавие=Republication of: The dynamics of general relativity
|ссылка=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2008-09_40_9/page/1997
|издание=[[General Relativity and Gravitation]]
|том=40
|номер=9
|страницы=1997—2027
|bibcode=2008GReGr..40.1997A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=2008}}</ref> Исходные работы авторов выходили в [[Physical Review]].<ref name="ADM">{{статья |doi=10.1103/PhysRev.116.1322 |заглавие=Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity |издание=[[Physical Review]] |том=116 |номер=5 |страницы=1322—1330 |bibcode=1959PhRv..116.1322A |язык=en |тип=journal |автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C. |год=1959}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.113.745
|заглавие=Quantum Theory of Gravitation: General Formulation and Linearized Theory
|издание=[[Physical Review]]
|том=113
|номер=2
|страницы=745—750
|bibcode=1959PhRv..113..745A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S.
|год=1959}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.117.1595
|заглавие=Canonical Variables for General Relativity
|издание=[[Physical Review]]
|том=117
|номер=6
|страницы=1595—1602
|bibcode=1960PhRv..117.1595A
|язык=en
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1960
|тип=journal}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRevLett.4.375
|заглавие=Finite Self-Energy of Classical Point Particles
|издание=[[Physical Review Letters]]
|том=4
|номер=7
|страницы=375—377
|bibcode=1960PhRvL...4..375A
|язык=en
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1960
|тип=journal}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.118.1100
|заглавие=Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity
|издание=[[Physical Review]]
|том=118
|номер=4
|страницы=1100—1104
|bibcode=1960PhRv..118.1100A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1960}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.120.313
|заглавие=Gravitational-Electromagnetic Coupling and the Classical Self-Energy Problem
|издание=[[Physical Review]]
|том=120
|страницы=313—320
|bibcode=1960PhRv..120..313A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1960}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.120.321
|заглавие=Interior Schwarzschild Solutions and Interpretation of Source Terms
|издание=[[Physical Review]]
|том=120
|страницы=321—324
|bibcode=1960PhRv..120..321A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1960}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.121.1556
|заглавие=Wave Zone in General Relativity
|издание=[[Physical Review]]
|том=121
|номер=5
|страницы=1556—1566
|bibcode=1961PhRv..121.1556A
|язык=en
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1961
|тип=journal}}</ref><ref>
{{статья
|doi=10.1103/PhysRev.122.997
|заглавие=Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity
|издание=[[Physical Review]]
|том=122
|номер=3
|страницы=997—1006
|bibcode=1961PhRv..122..997A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Arnowitt R., Deser S., Misner C.
|год=1961}}</ref>

== Обзор ==
Формализм предполагает, что [[пространство-время]] можно [[Слоение|расслоить]] на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей <math>\Sigma_t</math>, которые нумеруются при помощи временной координаты <math>t</math>, а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты <math>x^i</math>. Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: [[метрический тензор]] на этих гиперповерхностях <math>\gamma_{ij}(t,x^k)</math> и сопряжённый с ним тензор [[канонические координаты|канонических импульсов]] <math>\pi^{ij}(t,x^k)</math>. Из этих переменных выражается [[гамильтониан]], соответствующий [[Уравнения Эйнштейна|уравнениям Эйнштейна]], и таким образом, [[Уравнение движения|уравнения движения]] [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] оказываются записанными в [[Уравнения Гамильтона|гамильтоновой форме]].

Кроме 12 переменных <math>\gamma_{ij}</math> и <math>\pi^{ij}</math> (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 [[Метод множителей Лагранжа|лагранжевых множителя]]: функции хода {{l6e||the lapse function}} <math>N</math>, и функции сдвига — компоненты 3-вектора {{l6e||shift vector field}} <math>N_i</math>. Они описывают, как точки <math>x^i=const</math> на соседних слоях <math>\Sigma_t, t=const</math> связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора [[Система координат|координатной системы]] для описания пространства-времени.

== Вывод ==

=== Обозначения ===
Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться <math>g_{ij}</math>, а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как <math>{^{(4)}}g_{\mu \nu}</math>.

<!-- The text here uses [[Einstein notation]] in which summation over repeated indices is assumed.

Two types of derivatives are used: [[Partial derivative]]s are denoted either by the operator <math>\partial_{i}</math> or by subscripts preceded by a comma. [[Covariant derivative]]s are denoted either by the operator <math>\nabla_{i}</math> or by subscripts preceded by a semicolon.

The [[determinant]] of the metric tensor is represented by <math>g</math> (with no indices). Other tensor symbols written without indices represent the trace of the corresponding tensor such as <math>\pi = g^{ij}\pi_{ij}</math>.

=== Lagrangian Formulation ===
The starting point for the ADM formulation is the [[Lagrangian]]
: <math>\mathcal{L} = {^{(4)}R} \sqrt{^{(4)}g}</math>
which is a product of the [[determinant]] of the four-dimensional [[metric tensor]] for the full spacetime and its [[scalar curvature|Ricci scalar]]. This is the Lagrangian from the [[Einstein-Hilbert action]].

The desired outcome of the derivation is to define an embedding of three-dimensional spatial slices in the four-dimensional spacetime. The metric of the three-dimensional slices
: <math>g_{ij} = {^{(4)}}g_{ij}</math>
will be the [[generalized coordinates]] for a Hamiltonian formulation. The [[conjugate momenta]] can then be computed
: <math>\pi^{ij} = \sqrt{^{(4)}g} \left( {^{(4)}}\Gamma^{0}_{pq} - g_{pq} {^{(4)}}\Gamma^{0}_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq}</math>
using standard techniques and definitions. The symbols <math>{^{(4)}}\Gamma^0_{ij}</math> are [[Christoffel symbols]] associated with the metric of the full four-dimensional spacetime. The lapse
: <math>N = \left( -{^{(4)}g^{00}} \right) ^{-1/2}</math>
and the shift vector
: <math>N_{i} = {^{(4)}g_{0i}}</math>
are the remaining elements of the four-metric tensor.

Having identified the quantities for the formulation, the next step is to rewrite the Lagrangian in terms of these variables. The new expression for the Lagrangian
: <math>\mathcal{L} = -g_{ij} \partial_{t} \pi^{ij} - NH - N_{i}P^{i} - 2 \partial_{i} ( \pi^{ij} N_{j} - \frac{1}{2} \pi N^{i} + \nabla^{i} N \sqrt{g} )</math>
is conveniently written in terms of the two new quantities
: <math>H = -\sqrt{g} \left[ R + g^{-1}\left(\frac{1}{2} \pi^{2} - \pi^{ij}\pi_{ij} \right) \right]</math>
and
: <math>P^{i} = -2 \pi^{ij}_{\ ;j}</math>
which are known as the [[Hamiltonian constraint]] and the momentum constraint respectively. Note also that the lapse and the shift appear in the Hamiltonian as [[Lagrange multipliers]].

=== Equations of Motion ===
Although the variables in the Lagrangian represent the [[metric tensor]] on three-dimensional spaces embedded in the four-dimensional [[spacetime]], it is possible and desirable to use the usual procedures from [[Lagrangian mechanics]] to derive «equations of motion» that describe the time evolution of both the metric <math>g_{ij}</math> and its conjugate momentum <math>\pi^{ij}</math>. The result
: <math>\partial_{t} g_{ij} = 2Ng^{-1/2} ( \pi_{ij} - \frac{1}{2} \pi g_{ij} ) + N_{i;j} + N_{j;i}</math>
and
: <math>\partial_{t} \pi^{ij} = -N\sqrt{g} ( R^{ij} - \frac{1}{2} R g^{ij} ) + \frac{1}{2} Ng^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac{1}{2} \pi^{2} ) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}^{\ j} - \frac{1}{2}\pi\pi^{ij} )</math>
: <math>-\sqrt{g}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^{n}\nabla_{n}N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) - N^{i}_{\ ;n}\pi^{nj} - N^{j}_{\ ;n}\pi^{ni}</math>
is a [[non-linear]] set of [[partial differential equations]].

Taking variations with respect to the lapse and shift provide constraint equations
: <math>H = 0</math>
and
: <math>P^{i} = 0</math>
and the lapse and shift themselves can be freely specified, reflecting the fact that coordinate systems can be freely specified in both space and time.

== Application to Quantum Gravity ==
Using the ADM formulation, it is possible to attempt to construct a [[Quantum gravity|quantum theory of gravity]], in the same way that one constructs the [[Schrödinger equation]] corresponding to a given Hamiltonian in [[quantum mechanics]]. That is, replace the canonical momenta <math>\pi^{ij}(t,x^k)</math> and the spatial metric functions by linear functional differential operators
: <math> \hat{g}_{ij}(t,x^k) \to g_{ij}(t,x^k)</math>
: <math> \hat{\pi}^{ij}(t,x^k) \to -i \frac{\delta}{\delta g_{ij}(t,x^k)} </math>
More precisely, the replacing of classical variables by operators is restricted by [[Canonical commutation relation|commutation relations]]. The hats represents operators in quantum theory.
This leads to the [[Wheeler-deWitt equation]].

== Application to Numerical Solutions of the Einstein Equations ==
There are relatively few exact solutions to the [[Einstein field equations]]. In order to find other solutions, there is an active field of study known as [[numerical relativity]] in which [[supercomputers]] are used to find approximate solutions to the equations. In order to construct such solutions numerically, most researchers start with a formulation of the Einstein equations closely related to the ADM formulation. The most common approaches start with an [[initial value problem]] based on the ADM formalism.

In Hamiltonian formulations, the basic point is replacement of set of second order equations by another first order set of equations. We may get this second set of equations by Hamiltonian formulation in an easy way. Of course this is very useful for numerical physics, because the reduction of order of differential equations must be done, if we want to prepare equations for a computer.

== ADM Energy ==
ADM energy is a special way to define the [[energy]] in [[general relativity]] which is only applicable to some special geometries of [[spacetime]] that asymptotically approach a well-defined [[metric tensor]] at infinity — for example a spacetime that asymptotically approaches [[Minkowski space]]. The ADM energy in these cases is defined as a function of the deviation of the metric tensor from its prescribed asymptotic form. In other words, the ADM energy is computed as the strength of the gravitational field at infinity.

The quantity is also called the ADM Hamiltonian, especially if one finds a different formula than the definition above that however leads to the same result.

If the required asymptotic form is time-independent (such as the Minkowski space itself), then it respects the time-translational [[symmetry]]. [[Noether's theorem]] then implies that the ADM energy is conserved. According to general relativity, the conservation law for the total energy does not hold in more general, time-dependent backgrounds — for example, it is completely violated in [[physical cosmology]]. [[Cosmic inflation]] in particular is able to produce energy (and mass) from «nothing» because the [[vacuum energy]] density is roughly constant, but the volume of the Universe [[exponential growth|grows exponentially]].

== См. также ==
* [[Canonical coordinates]]
* [[Canonical gravity]]
* [[Hamiltonian mechanics]]
* [[Wheeler-deWitt equation]]

-->

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |заглавие=Quantum Gravity |ссылка=https://archive.org/details/quantumgravity0000kief_z8m3 |место=Oxford, New York |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=2007 |isbn=978-0-19-921252-1 |язык=en |автор=Kiefer, Claus }}

{{DEFAULTSORT:Adm Formalism}}
[[Категория:Общая теория относительности]]