Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

Шаблон:Нп5, Стенли Дезер и Чарльз Мизнер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation, в честь 50-летия их основной работы, ноябрь 2009 года.

Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм Шаблон:L6e — разработанная в 1959 году Шаблон:Нп5, Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером гамильтонова формулировка общей теории относительности. Она играет важную роль в квантовой гравитации и численной относительности.

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» Шаблон:L6e был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией Луиса Виттена, Wiley NY (1962); chapter 7, pp. 227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в Эйнштейновском сборнике. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале General Relativity and Gravitation в серии классических работ по гравитации Исходные работы авторов выходили в Physical Review.

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время можно расслоить на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей ${\mathrm{\Sigma }}_t$, которые нумеруются при помощи временной координаты $t$, а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты $x^i$. Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: метрический тензор на этих гиперповерхностях ${\gamma }_{ij}(t,x^k)$ и сопряжённый с ним тензор канонических импульсов ${\pi }^{ij}(t,x^k)$. Из этих переменных выражается гамильтониан, соответствующий уравнениям Эйнштейна, и таким образом, уравнения движения общей теории относительности оказываются записанными в гамильтоновой форме.

Кроме 12 переменных ${\gamma }_{ij}$ и ${\pi }^{ij}$ (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 лагранжевых множителя: функции хода Шаблон:L6e $N$, и функции сдвига — компоненты 3-вектора Шаблон:L6e $N_i$. Они описывают, как точки $x^i=const$ на соседних слоях ${\mathrm{\Sigma }}_t,t=const$ связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора координатной системы для описания пространства-времени.

Вывод

Обозначения

Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться $g_{ij}$, а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как ${}^{(4)}{g}_{\mu \nu }$.

Литература

• Шаблон:Книга