Просмотр кода страницы Формула Бине (механика)

{{Другие значения|Формула Бине}}
'''Формула Бине''' — дифференциальное уравнение, позволяющее определить [[центральная сила|центральную силу]], если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

== Формулировка ==
Пусть [[материальная точка]] с массой <math>m</math> движется под действием центральной силы <math>\vec{F}</math>. Тогда в полярной системе координат <math>r</math>, <math>\varphi</math>

: <math>\frac{d^2}{d\varphi^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} = - \frac{F_r}{mc^2} r^2.</math>

Здесь <math>c</math> — так называемая постоянная площадей.

== Вывод ==
{{mainref|<ref  name="Бугаенко">''[[Бугаенко, Григорий Алексеевич|Бугаенко Г. А.]], [[Маланин, Владимир Владимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлев, Вадим Иванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 86-87. — ISBN 5-06-003587-5</ref>}}

Рассмотрим движение материальной точки <math>m</math> под действием [[центральная сила|центральной силы]] <math>\vec{F}</math>. Уравнение движения точки <math>m \vec{w} = \vec{F}</math> в проекциях на полярные оси <math>m w_r = F_r</math>, <math>m w_{\varphi} = F_{\varphi}</math>, где <math>F_{\varphi} = 0</math>. Радиальное ускорение <math>w_r = \ddot r - r \dot \varphi^{2}</math>, трансверсальное ускорение <math>w_{\varphi} = \ddot \varphi r + 2 \dot r \dot \varphi</math>. Получаем <math>m ( \ddot r - r \dot \varphi^{2} ) = F_{r}</math>, <math>m ( \ddot \varphi r + 2 \dot r \dot \varphi ) = 0</math>. Преобразуем второе уравнение: <math> ( \ddot \varphi r + 2 \dot r \dot \varphi ) = \frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^2 \dot{ \varphi}) = 0</math>. Следовательно: <math>r^2 \dot \varphi = c</math>, где <math>c</math> — константа, называемая постоянной площадей. Подставляя значение <math>\dot \varphi</math> из <math>r^2 \dot \varphi = c</math> в уравнение <math>m ( \ddot r - r \dot \varphi^{2} ) = F_{r}</math>, получаем <math>m \left( \ddot r - \frac{c^2}{r^3} \right) = F_{r}</math>. Последовательно находим <math>\dot r = \frac{dr}{d \varphi} \dot \varphi = \frac{c}{r^2} \frac{dr}{d \varphi} = -c \frac{d}{d \varphi} \left(\frac{1}{r}\right)</math>, <math>\ddot r = \frac{d \dot r}{dt} = \frac{d \dot r}{d \varphi} \dot \varphi = -\frac{c^2}{r^2}\frac{d^2}{d \varphi^2}\left(\frac{1}{r}\right)</math>.
Подставляя <math>\ddot r</math> в <math>m \left( \ddot r - \frac{c^2}{r^3}\right) = F_{r}</math>, находим <math>\frac{d^{2}}{d \varphi^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} = - \frac{F_{r}}{mc^{2}}r^{2}</math>.

== См. также ==
* 
*[[Центральная сила]]
* [[Законы Кеплера]]

== Литература ==
*{{Книга|автор=Моисей Иосифович Бать|год=1968|страниц=632|издательство=Наука,|заглавие=Теоретическая механика в примерах и задачах: Динамика|ссылка=https://books.google.se/books?id=peMOAQAAIAAJ&q=%D0%B1%D0%B0%D1%82%D1%8C+%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85+%D0%B8+%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%85+%D1%82%D0%BE%D0%BC+2&dq=%D0%B1%D0%B0%D1%82%D1%8C+%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85+%D0%B8+%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%85+%D1%82%D0%BE%D0%BC+2&hl=sv&sa=X&ved=0ahUKEwju1MLAvqLhAhVmk4sKHSTXCHcQ6AEIKzAA|ответственный=|издание=|место=|страницы=14|isbn=|isbn2=}}
*{{Книга|автор=Михаил Михайлович Гернет|год=1973|страниц=461|издательство=Высшая школа|заглавие=Курс теоретической механики|ссылка=https://books.google.se/books?id=h_yPwQEACAAJ&dq=%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%82+%D0%BC+%D0%BC+%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81+%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9+%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&hl=sv&sa=X&ved=0ahUKEwi4rtn4vqLhAhXxlIsKHXSXCOEQ6AEIKzAA|ответственный=|издание=|место=|страницы=325|isbn=|isbn2=}}
*{{Книга|автор=Жуковский Н. Е|год=1910|isbn=9785446096053|страниц=262|издательство=[[Императорское Московское техническое училище]]|заглавие=Аналитическая механика|ссылка=https://books.google.se/books?id=Qd3_CAAAQBAJ&pg=PA71&lpg=PA71&dq=%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0+%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B5+%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0&source=bl&ots=R3AeaiIjB0&sig=ACfU3U2wH67rXLUL_cmhoV_LX7X2fbkpTg&hl=sv&sa=X&ved=2ahUKEwjgx9iLvqLhAhXwlIsKHUxcBW8Q6AEwBnoECBwQAQ#v=onepage&q=%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0%20%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0&f=false|ответственный=|издание=|место=|страницы=|isbn2=}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

[[Категория:Классическая механика]]