Формула Бине (механика)

Шаблон:Другие значения Формула Бине — дифференциальное уравнение, позволяющее определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Формулировка

Пусть материальная точка с массой $m$ движется под действием центральной силы $\overrightarrow{F}$. Тогда в полярной системе координат $r$, $\phi$

$\frac{d^2}{d{\phi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=-\frac{F_r}{m{c}^2}{r}^2.$

Здесь $c$ — так называемая постоянная площадей.

Вывод

Рассмотрим движение материальной точки $m$ под действием центральной силы $\overrightarrow{F}$. Уравнение движения точки $m\overrightarrow{w}=\overrightarrow{F}$ в проекциях на полярные оси $m{w}_r=F_r$, $m{w}_{\phi }=F_{\phi }$, где $F_{\phi }=0$. Радиальное ускорение $w_r=\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2$, трансверсальное ускорение $w_{\phi }=\ddot{\phi }r+2\dot{r}\dot{\phi }$. Получаем $m(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2)=F_r$, $m(\ddot{\phi }r+2\dot{r}\dot{\phi })=0$. Преобразуем второе уравнение: $(\ddot{\phi }r+2\dot{r}\dot{\phi })=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi })=0$. Следовательно: $r^2\dot{\phi }=c$, где $c$ — константа, называемая постоянной площадей. Подставляя значение $\dot{\phi }$ из $r^2\dot{\phi }=c$ в уравнение $m(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2)=F_r$, получаем $m(\ddot{r}-\frac{c^2}{r^3})=F_r$. Последовательно находим $\dot{r}=\frac{dr}{d\phi }\dot{\phi }=\frac{c}{r^2}\frac{dr}{d\phi }=-c\frac{d}{d\phi }\left(\frac{1}{r}\right)$, $\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d\dot{r}}{d\phi }\dot{\phi }=-\frac{c^2}{r^2}\frac{d^2}{d{\phi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)$. Подставляя $\ddot{r}$ в $m(\ddot{r}-\frac{c^2}{r^3})=F_r$, находим $\frac{d^2}{d{\phi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=-\frac{F_r}{m{c}^2}{r}^2$.

См. также

• Центральная сила
• Законы Кеплера

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга