Просмотр кода страницы Формула Валлиса

'''Фо́рмула Ва́ллиса''' (также '''произве́дение Ва́ллиса''') — формула, выражающая [[Пи (число)|число <math>\pi</math>]] через [[бесконечное произведение]] рациональных дробей:
: <math>\begin{align}
\frac{\pi}{2} & = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{ 4n^2 }{ 4n^2 - 1 } = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) \\[6pt]
& = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdot \; \cdots \\
\end{align}</math>

== История ==
В [[1655 год]]у [[Джон Валлис]] предложил формулу для определения числа <math>\pi</math>:
: <math>\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{10}{11} \cdot\ldots </math>
Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений<ref name="БСЭ1">{{ВТ-БСЭ1|Валлисова формула}}</ref>.

== Доказательство ==
При подстановке <math>x = \frac{\pi}{2}</math> в бесконечное произведение для функции синуса, имеющее вид<ref name="WallisFormula">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html|title=Wallis Formula|website=mathworld.wolfram.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20201010064747/https://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html|archive-date=2020-10-10|access-date=2012-03-13|deadlink=no}}</ref>
: <math> \frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right), </math>
получается
: <math> \frac{2}{\pi} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right), </math>
откуда
: <math>\begin{align}
 \frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) = \\
  &= \prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \ldots
\end{align}</math>

== Применение ==
Произведение Валлиса сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа <math>\pi</math> оно малопригодно. При этом формула бывает полезна при различных теоретических исследованиях, например при выводе [[формула Стирлинга|формулы Стирлинга]].

Если формулу скорректировать, придав ей вид
: <math>\pi \approx \left[ \prod_{n=1}^{m-1} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \right] \cdot \left[ \frac{2m}{2m-1} \cdot \left( \frac{2m}{2m+1} \cdot \frac {1}{4} + 1 \right) + \frac {3}{4} \right] </math>
то скорость сходимости возрастёт примерно на пять порядков. Так, например, при <math>m = 4</math> получится
: <math>\pi \approx \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \left[ \frac{8}{7} \cdot \left( \frac{8}{9} \cdot \frac {1}{4} + 1 \right) + \frac{3}{4} \right] \approx 3,1405. </math>

== Примечания ==
{{примечания}}

{{math-stub}}

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{Нет источников |дата=2024-06-27}}

[[Категория:Алгоритмы вычисления числа пи]]