Просмотр кода страницы Формула Фаа-ди-Бруно

'''Формула Фаа-ди-Бруно''' является обобщением формулы [[Дифференцирование сложной функции|дифференцирования сложной функции]] на [[производная функции|производные]] более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника [[Фаа-ди-Бруно, Франческо|Франческо Фаа-ди-Бруно]], благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является [[Луи Франсуа Антони Арбогаст]], который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации<ref>{{книга |заглавие=Du calcul des derivations |год=1800 |издательство=Levrault |место=Strasbourg |ref=Arbogast |язык=und |автор=Arbogast, L. F. A.}}</ref> на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:
: <math>\frac{d^n}{dx^n} f\big(g(x)\big) = \sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}} \cdot f^{(m_1+\dots+m_n)}\big(g(x)\big) \cdot \prod_{j=1}^n \big(g^{(j)}(x)\big)^{m_j},</math>
где сумма по всем [[Кортеж (математика)|кортежам]] длины ''n'' из неотрицательных целых чисел (''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''n''</sub>), удовлетворяющих ограничению
: <math>1 \cdot m_1 + 2 \cdot m_2 + 3 \cdot m_3 + \cdots + n \cdot m_n = n.</math>

Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде
: <math>\frac{d^n}{dx^n} f\big(g(x)\big) =
\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} \cdot
f^{(m_1+\dots+m_n)}\big(g(x)\big) \cdot
\prod_{j=1}^n \left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j},</math>
однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации.

Суммируя члены с фиксированным значением ''m''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''m''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;+&nbsp;''m''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''k'' и заметив, что ''m''<sub>''j''</sub> должен быть равен нулю при ''j''&nbsp;>&nbsp;''n''&nbsp;−&nbsp;''k''&nbsp;+&nbsp;1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через [[полиномы Белла]] ''B''<sub>''n'',''k''</sub>(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>):
: <math>\frac{d^n}{dx^n} f\big(g(x)\big) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}\big(g(x)\big) \cdot B_{n,k}\big(g'(x), g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\big).</math>

== Комбинаторная форма ==
Формула имеет следующий комбинаторный вид:
: <math>\frac{d^n}{dx^n} f\big(g(x)\big) = (f \circ g)^{(n)}(x) = \sum_{\pi \in \Pi} f^{\big(|\pi|\big)}\big(g(x)\big) \cdot \prod_{B \in \pi} g^{\big(|B|\big)}(x),</math>
где
: π принимает значения из множества Π всех [[Разбиение множества|разбиений множества]] { 1, …, ''n'' },
: ''B'' ∈ π означает, что переменная ''B'' пробегает части разбиения π,
: |''A''| обозначает мощность множества ''A'' (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |''B''| — размер блока ''B'').

== Пример ==
Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

:<math>
\begin{align}
 (f \circ g)''''(x) &= f''''\big(g(x)\big) g'(x)^4 + 6 f'''\big(g(x)\big) g''(x) g'(x)^2 + {} \\
                    &+ 3 f''\big(g(x)\big) g''(x)^2 + 4 f''\big(g(x)\big) g'''(x) g'(x) + {} \\
                    &+ f'\big(g(x)\big) g''''(x).
\end{align}
</math>

Все действия выполняются по следующем образцу:
:<math>
\begin{alignat}{4}
 g'(x)^4 & \leftrightarrow{} & 1 + 1 + 1 + 1 & \leftrightarrow{} & f''''\big(g(x)\big) & \leftrightarrow{} & 1, \\ 
 g''(x) g'(x)^2 & \leftrightarrow & 2 + 1 + 1 & \leftrightarrow & f'''\big(g(x)\big) & \leftrightarrow & 6, \\
 g''(x)^2 & \leftrightarrow & 2 + 2 & \leftrightarrow & f''\big(g(x)\big) & \leftrightarrow & 3, \\
 g'''(x) g'(x) & \leftrightarrow & 3 + 1 & \leftrightarrow & f''\big(g(x)\big) & \leftrightarrow & 4, \\
 g''''(x) & \leftrightarrow & 4 & \leftrightarrow & f'\big(g(x)\big) & \leftrightarrow & 1.
\end{alignat}
</math>

Множитель <math>g''(x) g'(x)^2</math> очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель <math>f'''\big(g(x)\big)</math> показывает, что имеется 3 слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно 6 разбиений множества из 4 элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель <math>g''(x)^2</math> в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а <math>f''\big(g(x)\big)</math> указывает на то, что в этом разбиении должно быть 2 слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только <math>\tfrac{1}{2} \tbinom{4}{2} = 3</math> способа разбить 4 элемента на группы размера 2. 

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

== Комбинаторная интерпретация коэффициентов ==
Коэффициенты формулы Фаа-ди-Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество [[Разбиение множества|разбиений множества]] размера ''n'', соответствующих [[Разбиение числа|разбиению числа]] ''n'':
: <math>n = \underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} + \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} + \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3} + \cdots</math>
равно
: <math>\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\, \cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\, \cdots}.</math>

Эти коэффициенты также возникают в [[полиномы Белла|полиномах Белла]], которые имеют отношение к изучению [[Полуинварианты|кумулянтов]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=FaadiBrunosFormula|title=Faa di Bruno's Formula}}
* [http://mit.spbau.ru/sewiki/images/e/e9/Комбинаторика_2011_13.pdf Конспект лекции о формуле Фаа ди Бруно с примерами].
* {{статья |автор=В. А. Кудрявцев |заглавие=Общая формула для производной ''n''-го порядка степени некоторой функции |издание=[[Математическое Просвещение]] |серия=Первая серия |выпуск=1 |страницы=24—27 |место=М.-Л. |издательство=[[Физматлит|ОНТИ]] |год=1934 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/mp1/mp1-1.djvu?djvuopts&page=27}}

[[Категория:Комбинаторика|*]]