Просмотр кода страницы Формула Эйлера (дифференциальная геометрия)

[[Файл:Minimal surface curvature planes-ru.svg|thumb|350 px|Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны]]
'''Формула Эйлера''' — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Названа в честь [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]], который доказал её в 1760 году.

==Формулировка==

Пусть <math>\Phi</math> есть регулярная поверхность в трёхмерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]]. 
Пусть <math>p</math> — точка <math>\Phi,</math> <math>T_p</math> — касательная плоскость к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math>  <math>n</math> — единичная нормаль к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> а <math>\pi_e</math> — плоскость, проходящая через <math>n</math> и некоторый единичный вектор <math>e</math> в <math>T_p</math>. 
Кривая <math>\gamma_e,</math> получающаяся как пересечение плоскости <math>\pi_e</math> с поверхностью <math>\Phi,</math> называется '''нормальным сечением''' поверхности <math>\Phi</math> в точке <math>p</math> в направлении <math>e.</math>
Величина
: <math>\kappa_e=k\cdot n</math>
где <math>\cdot</math> обозначает [[скалярное произведение]], а <math>k</math> — ''вектор кривизны'' <math>\gamma_e</math> в точке <math>p</math>, называется '''нормальной кривизной''' поверхности <math>\Phi</math> в направлении <math>e</math>.
С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой <math>\gamma_e</math>.

В касательной плоскости <math>T_p</math> существуют два перпендикулярных направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой '''формулы Эйлера''':
: <math>\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha</math>
где <math>\alpha</math> — угол между этим направлением и  <math>e_1</math>, a величины <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> нормальные кривизны в направлениях <math>e_1</math> и <math>e_2</math>, они называются '''главными кривизнами''', а направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> — '''главными направлениями''' поверхности в точке <math>p</math>.
Главные кривизны являются [[экстремум|экстремальными]] значениями нормальных кривизн.
Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью [[индикатриса Дюпена|индикатрисы Дюпена]].

== См. также ==
* [[Вторая квадратичная форма]]
* [[Дифференциальная геометрия поверхностей]]
* [[Индикатриса Дюпена]]
* [[Кривизна]]

== Ссылки ==
* {{Citation|title=Recherches sur la courbure des surfaces|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|year=1760|journal=Memoires de l'academie des sciences de Berlin|volume=16|pages=119–143|publication-date=1767|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333.html}}.

[[Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]