Формула Эйлера (дифференциальная геометрия)

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году.

Формулировка

Пусть $\mathrm{\Phi }$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть $p$ — точка $\mathrm{\Phi },$ $T_p$ — касательная плоскость к $\mathrm{\Phi }$ в точке $p,$ $n$ — единичная нормаль к $\mathrm{\Phi }$ в точке $p,$ а ${\pi }_e$ — плоскость, проходящая через $n$ и некоторый единичный вектор $e$ в $T_p$. Кривая ${\gamma }_e,$ получающаяся как пересечение плоскости ${\pi }_e$ с поверхностью $\mathrm{\Phi },$ называется нормальным сечением поверхности $\mathrm{\Phi }$ в точке $p$ в направлении $e.$ Величина

${\kappa }_e=k\cdot n$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $k$ — вектор кривизны ${\gamma }_e$ в точке $p$, называется нормальной кривизной поверхности $\mathrm{\Phi }$ в направлении $e$. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой ${\gamma }_e$.

В касательной плоскости $T_p$ существуют два перпендикулярных направления $e_1$ и $e_2$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

${\kappa }_e={\kappa }_1{\cos }^2\alpha +{\kappa }_2{\sin }^2\alpha$

где $\alpha$ — угол между этим направлением и $e_1$, a величины ${\kappa }_1$ и ${\kappa }_2$ нормальные кривизны в направлениях $e_1$ и $e_2$, они называются главными кривизнами, а направления $e_1$ и $e_2$ — главными направлениями поверхности в точке $p$. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Индикатриса Дюпена
• Кривизна

Ссылки

• Шаблон:Citation.