Просмотр кода страницы Функция Грина

[[Файл:Green's function animation.gif|мини|Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником.]]

'''Фу́нкция Гри́на''' — функция, используемая для решения линейных неоднородных [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] с [[Начальные и граничные условия|граничными условиями]] (неоднородной [[краевая задача|краевой задачи]]).
Названа в честь английского математика [[Грин, Джордж (математик)|Джорджа Грина]], который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения [[Уравнение Пуассона|уравнения Пуассона]]; в [[Физика конденсированного состояния|теории конденсированных сред]] — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в [[квантовая механика|квантовой механике]] — функция Грина [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониана]] является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и [[уравнение Шрёдингера]] в некотором смысле подобны.
Все области [[математическая физика|математической]] и [[теоретическая физика|теоретической физики]], где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить.
Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В [[физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]] и [[статистическая физика|статистической физике]] функции Грина используются как [[пропагатор]]ы в [[диаграмма Фейнмана|диаграммах Фейнмана]] (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к [[корреляционная функция#Корреляционная функция в квантовой теории поля|корреляционной функции]] в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]]). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к [[Физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]] ([[рентгенография]], расчёты электронных спектров металлических материалов).

== Определение и использование ==
Функция Грина <math>G(x, s)</math> [[Дифференциальный оператор|линейного дифференциального оператора]] <math>L = L(x)</math>, действующего на [[Обобщённая функция|обобщённых функциях]] на подмножестве евклидового пространства <math>\R^n</math> в точке <math>s</math>, — это любое решение уравнения

: <math>L~G(x,s)=\delta(x-s)</math>,

где <math>\ \delta</math> — это [[Дельта-функция|дельта-функция Дирака]]. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

: <math>L~u(x)=f(x)</math>,

Функция Грина — это [[обратный оператор]] к <math>L</math>, поэтому её нередко символически обозначают как <math>L^{-1}</math>.

Если [[Ядро (алгебра)|ядро]] оператора <math>L</math> нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а [[обобщённая функция]], то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида [[Дельта-функция|дельта-функции]] или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с [[плотность состояний|плотностью состояний]]. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

: <math>L~G(x,s)=-\delta(x-s)</math>,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор [[Трансляционная симметрия|трансляционно инвариантен]], то есть если <math>L</math> имеет [[Постоянная|постоянные коэффициенты]] по отношению к <math>x</math>, то функция Грина может быть выбрана в виде [[Свёртка (математический анализ)|конволюционного оператора]]

: <math>G(x,s)=G(x-s)</math>.

В таком случае она совпадает с [[Импульсная переходная функция|импульсной переходной функцией]] из [[Теория линейных стационарных систем|теории линейных стационарных систем]].

== Замечание ==
Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид <math>Lf=\kappa h</math>, функция Грина <math>g(x,s)</math> также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения<ref name="definremark">Ясно, что описанное в этом разделе отличие в определении функции Грина от данного в статье выше касается не сути дела, а всего лишь предпочитаемой формы записи</ref>

: <math>L f_1 (x) = \kappa\, \delta(x - s)</math>.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения <math>Lf=\kappa h</math> с произвольной функцией <math>h</math> в правой части записывается как

: <math>f(x)=\int{\kappa\, h(s)\, g(x,s)\,ds}</math>.

{{примечания|definremark}}

== Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай) ==

=== Постановка задачи ===
Пусть <math>L</math> — [[Задача Штурма — Лиувилля|оператор Штурма — Лиувилля]], линейный дифференциальный оператор вида:

: <math>L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]-q(x)</math>,

и пусть <math>D</math> — оператор краевых условий:

: <math>Du=\begin{pmatrix} \alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0)
\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{pmatrix}</math>

=== Теорема Грина ===
Пусть <math>f(x)</math> — [[непрерывная функция]] на промежутке <math>[0,\;l]</math>. Предположим также, что задача

: <math>\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}</math>

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Тогда существует единственное решение <math>u(x)</math>, удовлетворяющее системе

: <math>\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}</math>,

которое задаётся выражением

: <math>u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds</math>,

где <math>g(x,\;s)</math> — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

# <math>g(x,\;s)</math> непрерывна по <math>x</math> и <math>s</math>.
# Для <math>x\ne s</math>, <math>Lg(x,\;s)=0</math>.
# Для <math>s\ne 0,\;l</math>, <math>Dg(x,\;s)=0</math>.
# Скачок производной: <math>g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s)</math>.
# Симметрична: <math>g(x,\;s)=g(s,\;x)</math>.

== Нахождение функции Грина ==

=== В виде ряда через собственные функции оператора ===
Если множество [[собственный вектор|собственных векторов]] ([[собственный вектор|собственных функций]]) <math>\Psi_n</math> дифференциального оператора <math>L\ </math>

(то есть набор таких функций <math>\Psi_n(x)</math>, что для каждой найдётся число <math>\lambda_n \ne 0</math>, что <math>L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n</math>)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов <math>\Psi_n</math> и собственных значений <math>\lambda_n</math>.

Под полнотой системы функций <math>\Psi_n(x)</math> подразумевается выполнение соотношения

: <math>\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\overline{\Psi}_n(x^\prime)</math>.

Можно показать, что

: <math>G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\overline{\Psi}_n(x^\prime)}{\lambda_n}</math>.

Действительно, подействовав оператором <math>L</math> на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху, <math>\overline{\Psi}</math>, обозначено [[комплексное сопряжение]]; если <math>\Psi_n</math> — [[Числовая функция|вещественные функции]], его можно не делать).

=== Для параболических уравнений ===
{{mainref|<ref>''[[Ли Чжэндао|Ли Цзун-дао]]'' Математические методы в физике. - М.: Мир, 1965. - c. 200</ref>}}

[[Уравнение теплопроводности]], [[уравнение Шрёдингера]] и уравнения диффузии можно представить в виде [[уравнение в частных производных|уравнения в частных производных]]:

{{Нумерованная формула|1=:|2=<math>H\psi(x,\beta) = -\frac{\partial\psi(x,\beta)}{\partial\beta}</math>|3=(1)|RawN=.}}

где <math>H</math> — [[эрмитов оператор]], <math>x= \mathcal{f} x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \mathcal{g} </math> -
пространственные координаты
* для уравнения теплопроводности <math>\Delta T = \frac {c} {k} \frac{\partial T} {\partial t}</math>
<math>T</math> — температура, <math>\beta=\frac{k}{c}t</math>.
* для уравнения Шрёдингера <math>H\psi=-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>
<math>\psi</math> — [[волновая функция]], <math>\beta=\frac{\hbar i}{2m}t</math>.
* для уравнения диффузии <math>\nabla ^{2} \psi = \frac{1}{\lambda}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>
<math>\psi</math> — концентрация вещества, <math>\beta=\lambda t</math>.

Собственные функции <math>\varphi_{m}</math> оператора <math>H</math> образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

: <math>H\varphi_{m}=\lambda_{m}\varphi_{m}</math>.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

{{Нумерованная формула|1=:|2=<math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)\varphi_{m}(x)
</math>|3=(2)|RawN=.}}

Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:

: <math>H\psi=\sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)H\varphi_{m}(x) = 
- \sum_{m=0}^{\infty} \varphi_{m}(x)\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta)</math>.

Таким образом:

: <math>\sum_{m=0}^{\infty}[\lambda_{m}A_{m}(\beta)+\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta)]\varphi_{m}(x) = 0</math>.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

: <math>-\lambda_{m}A_{m}(\beta)=\frac{\partial A_{m}(\beta)}{\partial \beta}</math>,

откуда

: <math>A_{m}(\beta)=A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}</math>.

Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:

: <math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}\varphi_{m}(x)</math>.

Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:

: <math>A_{m}(\beta) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, \beta)d\tau</math>,

где <math>d\tau=dx_{1}dx_{2}...dx_{n}</math> — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

: <math>A_{m}(0) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, 0)d\tau</math>

Итак, если задано начальное состояние, то

: <math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \int \psi (x', 0) \varphi_{m}^{*}(x')\varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}d\tau'</math>

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

: <math>\psi(x, \beta) = \int \langle x | G(\beta) | x' \rangle \psi(x', 0) d\tau'</math>,

где:

: <math> \langle x | G(\beta) | x' \rangle =  \sum_{m=0}^{\infty}  \varphi_{m}^{*}(x') \varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}</math>.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

== Функция Грина для лапласиана ==
Функция Грина для [[лапласиан]]а может быть получена из [[теорема Грина|теоремы Грина]].

Для получения теоремы Грина начнём с [[Теорема Гаусса|закона Гаусса]]:

: <math>\int\limits_V\nabla\cdot\hat A\ dV=\int\limits_S\hat A\cdot d\hat\sigma</math>.

Примем <math>A=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi</math> и подставим в закон Гаусса. Вычислим <math>\nabla\cdot\hat A</math> и применим [[Дифференцирование сложной функции|цепное правило]] для оператора <math>\nabla</math>:

: <math>\nabla\cdot\hat A=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)=</math>
:: <math>=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla^2\psi-(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)-\psi\nabla^2\varphi=\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi</math>.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

: <math>\int\limits_V (\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)\ dV=\int\limits_S (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\hat\sigma</math>.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор <math>L</math> [[Лапласиан]], <math>\nabla^2</math>, и то, что у нас имеется для него функция Грина <math>G</math>. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

: <math>LG(x,\;x^\prime)=\nabla^2G(x,\;x^\prime)=\delta(x-x^\prime)</math>.

Положим <math>\psi=G</math> в теореме Грина. Тогда получим:

: <math>\int\limits_V (\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^2\varphi(x^\prime))\ d^3x^\prime=</math>
:: <math>=\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime</math>.

Используя выражение, мы можем решить [[уравнение Лапласа]] (<math>\nabla^2\varphi(x)=0</math>) и уравнение Пуассона (<math>\nabla^2\varphi(x)=-4\pi\rho(x)</math>) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение <math>\varphi(x)</math> всюду внутри заданной области, если (1) значение <math>\varphi(x)</math> задано на границе этой области ([[граничные условия Дирихле]]), или (2) нормальная производная <math>\varphi(x)</math> задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение <math>\varphi(x)</math> внутри области. В этом случае интеграл <math>\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)\ d^3x^\prime</math> упрощается до <math>\varphi(x)</math> в силу основного свойства [[Дельта-функция|дельта-функции]], и мы имеем:

: <math>\varphi(x)=\int\limits_V G(x,\;x^\prime)\rho(x^\prime)\ d^3x^\prime+\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime</math>.

Эта формула выражает известное свойство [[гармонические функции|гармонических функций]], состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой [[Внутренность|внутренней точке]] этой области.

В [[электростатика|электростатике]] <math>\varphi(x)</math> понимается как [[электростатический потенциал]], <math>\rho(x)</math> как [[плотность]] [[электрический заряд|электрического заряда]], а нормальная производная <math>\nabla\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime</math> как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой [[Задача Дирихле|задачи Дирихле]] функция Грина выбирается в виде <math>G(x,\;x^\prime)</math>. Эта функция обращается в нуль, когда <math>x</math> или <math>x^\prime</math> находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

: <math>G(\hat x,\;\hat x^\prime)=\frac{1}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}</math>.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую [[плотность заряда]].

: <math>\varphi(x)=\int\limits_V\frac{\rho(x^\prime)}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}\ d^3x^\prime</math>.

== Пример ==
''(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу [[#Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)|Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)]], причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).''

Дана задача

: <math>\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x)</math>;
: <math>u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0</math>.

Найти функцию Грина.

'''Первый шаг:'''
Функция Грина <math>g(x,s)</math> в данном случае по определению должна быть решением уравнения
{{Нумерованная формула|1=:|2=<math>g^{\prime\prime} + g = \delta(x - s)</math>|3=(3)|RawN=.}}

где двумя штрихами обозначена вторая производная по <math>x</math>.

Для <math>x \ne s</math>, где <math>\delta</math>-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):
: <math>g^{\prime\prime} + g = 0</math>,
то есть для всех точек, кроме <math>s</math>, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения
: <math>g = A \cos x + B \sin x</math>,
где <math>A</math> и <math>B</math> — константы (не зависят от <math>x</math>).

Таким образом, <math>g(x,s)</math> должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки <math>s</math>, причём слева и справа от неё коэффициенты <math>A</math> и <math>B</math> могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: <math>u(0) = 0</math> — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для <math>x < s</math> коэффициент <math>A</math> общего решения должен быть нулём, то есть для <math>x < s</math>
: <math>g(x,\;s)=B\cdot\sin x</math>.

Точно так же из правого граничного условия: <math>u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0</math> — получаем равенство нулю коэффициента <math>B</math>, то есть для <math>x > s</math>
: <math>g(x,\;s)=A\cdot\cos x</math>.

В итоге, учитывая, что коэффициенты <math>A</math> и <math>B</math> вообще говоря могут зависеть от <math>s</math>, можем записать:

: <math>g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} 
B(s)\sin x,\;\;x<s \\
A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.</math>

'''Второй шаг:'''

Нужно определить <math>A(s)</math> и <math>B(s)</math>.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения <math>x < s</math> и <math>x > s</math>:

: <math>B(s)\sin s=A(s)\cos s</math>.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от <math> x=s-\varepsilon</math> до <math> x=s+\varepsilon</math> получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

<math>g'(s_{+0},s) - g'(s_{-0},s) = -A(s)\cdot\sin s -B(s)\cdot\cos s=1</math>.

Используя [[правило Крамера]] или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

<math>A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s</math>.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

: <math>g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix}
-1 \cdot \cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\
-1 \cdot \sin s\cdot\cos x,\;\;s<x 
\end{matrix}\right.</math>,
что можно записать как
: <math>g(x,\;s)=\frac12\left(\sin\left|x-s\right|-\sin(x+s)\right). 
</math>

=== Таблица с функциями Грина ===
В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>, <math>\textstyle \rho = \sqrt{x^2+y^2}</math>, <math>\textstyle \Theta(t)</math> — [[функция Хевисайда]], <math>\textstyle J_\nu(z)</math> — [[функция Бесселя]], <math>\textstyle I_\nu(z)</math> — [[Модифицированные функции Бесселя|модифицированная функция Бесселя первого рода]] и <math>\textstyle K_\nu(z)</math> — [[Модифицированные функции Бесселя|модифицированная функция Бесселя второго рода]].<ref> Некоторые примеры взяты из книги Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. {{ISBN|3-8171-1661-6}} (German)</ref> Где время ({{math|''t''}}) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина <math>G^A</math>.

{| class="wikitable"
|-
! Дифференциальный оператор {{mvar|L}} !! Функция Грина {{mvar|G}} !! Пример применения
|-
| <math>\partial_t^{n+1}</math> || <math>\frac{t^n}{n!} \Theta(t)</math> ||
|-
| <math>\partial_t + \gamma </math> || <math>\Theta(t)\mathrm e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\left(\partial_t + \gamma \right)^2</math> || <math>\Theta(t)t\mathrm e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2</math> || <math>\Theta(t)\mathrm e^{-\gamma t}~\frac{\sin(\omega t)}{\omega}</math>, <math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}</math>|| [[Гармонический осциллятор]]
|-
| <math>\Delta_{\text{2D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2</math> || <math>\frac{1}{2 \pi}\ln \rho </math>, <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> || [[Уравнение Пуассона]]
|-
| <math>\Delta_{\text{3D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2</math> || <math>\frac{-1}{4 \pi r}</math>, <math> r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} </math> || [[Уравнение Пуассона]]
|-
| <math>\Delta_{\text{3D}} + k^2</math> || <math>\frac{-\mathrm e^{-ikr}}{4 \pi r}= i \sqrt{\frac{k}{32 \pi r}}</math>[[Функции Ганкеля|<math> H^{(2)}_{1/2}(kr)</math>]]<math>=i \frac{k}{4\pi}\, </math>[[Bessel function#Spherical Hankel functions: hn.281.29.2C hn.282.29|<math>h^{(2)}_{0}(kr)</math>]]|| стационарное 3D [[уравнение Шрёдингера]] для свободной частицы
|-
|  <math>\Delta - k^2</math> в пространстве с <math>n</math> измерениями || <math>- (2\pi)^{-n/2} \left(\frac{k}{r}\right)^{n/2-1} K_{n/2-1}(kr)</math> || [[Потенциал Юкавы]], [[Пропагатор]]
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2c}\Theta(t - |x/c|)</math> || 1D [[волновое уравнение]]
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{1}{2\pi c\sqrt{c^2t^2 - \rho^2}}\Theta(t - \rho/c)</math> || 2D [[волновое уравнение]]
|-
| <math>\square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4 \pi r}</math> || 3D [[волновое уравнение]]
|-
| <math>\partial_t - k\partial_x^2</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{1/2}\mathrm e^{-x^2/4kt}</math> || 1D [[уравнение диффузии]]
|-
| <math>\partial_t - k\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)\mathrm e^{-\rho^2/4kt}</math> || 2D [[уравнение диффузии]]
|-
| <math>\partial_t - k\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{3/2}\mathrm e^{-r^2/4kt}</math> || 3D [[уравнение диффузии]]
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \partial_x^2+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{2}\left[\left(1-\sin{\mu ct}\right)(\delta(ct-x)+\delta(ct+x))+\mu\Theta(ct - |x|)J_0\left(\mu u\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || 1D [[уравнение Клейна — Гордона]]
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \Delta_{\text{2D}}+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[(1+\cos{(\mu ct)})\frac{\delta(ct-\rho)}{\rho}+\mu^2\Theta(ct - \rho)\operatorname{sinc}{(\mu u)}\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2}</math> || 2D [[уравнение Клейна — Гордона]]
|-
| <math>\square+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[\frac{\delta\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}+\mu c\Theta(ct - r)\frac{J_1\left(\mu u\right)}{u}\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || 3D [[уравнение Клейна — Гордона]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2}e^{-\gamma t} \left[\delta(ct-x)+\delta(ct+x)+\Theta(ct - |x|)\left(\frac{\gamma}{c}I_0\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{\gamma t}{u}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || [[телеграфное уравнение]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{4\pi} \left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t)\frac{\delta(ct-\rho)}{\rho}+\Theta(ct - \rho)\left(\frac{\gamma\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{cu}+\frac{3\gamma t\cosh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^2}-\frac{3ct\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^3}\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2}</math> || 2D релятивистское уравнение теплопроводности
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{20\pi} \left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma^2t^2\right)\frac{\delta(ct-r)}{r^2}+\frac{\gamma^2}{c}\Theta(ct - r)\left(\frac{1}{cu}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{4 t}{u^2}I_2\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || 3D релятивистское уравнение теплопроводности
|}

== Другие примеры ==
* Пусть дано множество <math>\mathbb R</math> и оператор <math>\ L</math> равен <math>\ d/dx</math>. Тогда [[функция Хевисайда]] <math>\ H(x-x_0)</math> является функцией Грина для <math>\ L</math> при <math>\ x_0</math>.
* Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости <math>{ (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}</math> и <math>\ L</math> — оператор Лапласа. Также предположим, что при <math>\ x=0</math> наложены краевые условия Дирихле, при <math>\ y=0</math> — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид
: <math>G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+</math>
:: <math>+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].</math>

== См. также ==
* [[Дифференциальный оператор]]
* [[Функция Грина для случайно-неоднородной среды]]
* [[Метод функции Грина]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* Eyges, Leonard, ''The Classical Electromagnetic Field'', Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

{{rq|refless|style|isbn}}
{{Математическая физика}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения]]