Просмотр кода страницы Функция распределения (статистическая физика)

{{Не путать|Функция распределения|функцией распределения в теории вероятностей}}{{Статистическая физика}}
Функция статистического распределения ('''функция распределения''' в статистической физике) —
[[плотность вероятности]] в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]].
Одно из основополагающих понятий [[статистическая физика|статистической физики]]. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется [[координата]]ми <math> q_{i} </math> и [[импульс]]ами <math> p_{i}</math> её частиц (''i=1,2,…, d''; ''d'' — число [[Степени свободы (физика)|степеней свободы]] системы). Набор величин <math>q \equiv \left\{ q_{i}  \right\} </math> и <math>p \equiv \left\{ p_{i}  \right\} </math> образуют [[фазовое пространство]].

== Полная функция статистического распределения ==
[[Вероятность]] нахождения системы в элементе фазового пространства <math>\mathrm{d}q\, \mathrm{d}p \equiv\prod\limits_{i} \mathrm{d}q_{i} \, \mathrm{d}p_{i}</math>, с точкой ''(q, p)'' внутри, даётся формулой:

: <math>\mathrm{d}\omega = \rho\!\left(t,q,p\right) \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p  \qquad (1)</math>
Функцию <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math> называют '''''полной функцией статистического распределения''''' (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве.
Функция <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math> удовлетворяет условию [[нормировка|нормировки]]:

: <math> \int { \rho\!\left(t,q,p\right)\,\mathrm{d}q\, \mathrm{d}p} = 1, \qquad (2) </math>
причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем [[механика|механике]] случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными <math> {q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\}</math> и <math> {p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}</math>, и тогда

: <math>\rho\!\left(q,p\right)=\delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta\!\left(p-p^{(0)}\right), </math>
где <math>\delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\delta\!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\!\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\!\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right)</math> (δ — [[функция Дирака]]).
Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция <math> \rho \!\left(t,q,p\right)</math> позволяет найти '''''среднее статистическое значение''''' любой физической величины <math> F\!\left(t,q,p\right)</math> — функции [[фазовые переменные|фазовых переменных]] ''q'' и ''p'':

: <math> \left\langle\hat{F}\right\rangle=\int { \hat{F}\, \hat{\rho} \, \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p },</math>
где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о [[статистическая независимость|статистической независимости]] таких подсистем вследствие их слабого [[взаимодействие|взаимодействия]] с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

: <math> \rho\!\left(t,q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)</math>

Индекс ''n'' относится к ''n''-й подсистеме. Каждую из функций <math>\rho^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)</math> можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция <math>\rho </math>. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает [[корреляция|корреляции]] частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — [[радиус корреляций]], вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения <math>\rho \!\left(t,q,p\right)</math> равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности ''2d'' (для макроскопических систем ''d'' ~ <math>N_A</math>, где <math>N_A</math> — [[число Авогадро]]).

== Неполное описание ==
В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин <math>\hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\}</math>. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей <math>\rho\! \left(A\right)</math> значений <math>A</math> дается равенством
: <math> \rho\!\left(A\right)=\int {\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p\,\delta\!\left(A-\hat{A}\right)\rho\!\left(q,p\right)},</math>
где <math>\delta\!\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\!\left(A_m-\hat{A}_m\right)</math>. Функция распределения <math> \rho\!\left(A\right)</math> может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин <math>\hat{f}\equiv f\!\left(\hat{A}\right) </math> , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через <math>\hat{A}</math> . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

: <math> \left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {\mathrm{d}A\, f\!\left(A\right)\,\rho\!\left(A\right)},</math>
где <math>\mathrm{d}A \equiv \prod\limits_{m}\mathrm{d}A_m </math> и интегрирование ведется по всем возможным значениям <math>A</math>. Конечно, средние значения <math>\left\langle\hat{f}\right\rangle</math> величин <math>\hat{f}</math> можно было бы найти с помощью полной функции распределения <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math>, если бы она была известна.
Для функции <math>\rho\!\left(A\right)</math> так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:
: <math>\int{\mathrm{d}A\,\rho\!\left(A\right)}=1</math>

Описание системы с помощью функции <math>\rho\!\left(A\right)</math> называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений [[масса|масс]], импульсов и [[энергия|энергий]] отдельных подсистем всей системы.

== Временная эволюция функции распределения ==
Временная эволюция функции распределения подчиняется [[уравнение Лиувилля|уравнению Лиувилля]]:

: <math>\frac {\partial\hat{\rho}\!\left(t\right)}{\partial t}+i\,L_t\,\hat{\rho}\!\left(t\right) = 0,\qquad (4)</math>
где <math>L_t</math> — [[оператор Лиувилля]], действующий в пространстве фазовых функций:

: <math>L_t \, \cdot \equiv-i\left\{\hat{H}_t, \cdot \right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right)</math>,

<math>\hat{H}_t</math> — [[функция Гамильтона]] системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (<math>L_t=L</math>), решение уравнения (4) имеет вид
: <math>\hat{\rho}\!\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\!\left(0\right)\qquad (5)</math>

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать [[собственные функции]] <math>\hat{\psi}^{(n)}</math> и [[собственные значения]] <math>L^{(n)}</math> оператора <math>L</math>.

Пользуясь [[Полнота базиса|полнотой]] и [[Ортонормированная система|ортонормированностью]] <math>\hat{\psi}^{(n)}</math>, напишем:

: <math>\hat{\rho}\!\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)}</math>,

где <math>c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\!\left(0\right)\right)</math> ([[спектр]] предполагается дискретным). В итоге получим
: <math>\hat{\rho}\!\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}} c_n\,\hat{\psi}^{(n)}</math>

== См. также ==
* [[Частичная функция распределения]]

== Литература ==
* ''[[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс Дж. В.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gibbs1946ru.djvu «Основные принципы статистической механики»] — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
* ''[[Балеску, Раду|Балеску Р.]]'' Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
* ''Березин Ф. А.'' Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-е изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
* ''[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]]'' Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. [[Гостехиздат]], 1946.
* ''[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Bogolyubov1979ru.djvu Избранные труды по статистической физике]. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
* ''[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]]'' Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
* ''[[Власов, Анатолий Александрович (физик)|Власов А. А.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vlasov1978ru.djvu Нелокальная статистическая механика]. — М.: Наука, 1978.
* ''[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]], Морозов В. Г., Репке Г.'' Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: [[Физматлит]], 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
* ''Пригожин И.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Prigozhin1964ru.djvu Неравновесная статистическая механика]. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7
* ''Хинчин А. Я.'' Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3
* ''Рюэль Д.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ryuel1971ru.djvu Статистическая механика. Строгие результаты]. — М.: Мир, 1971. — 368с.
* Крылов Н. С. [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Krylov1950ru.djvu Работы по обоснованию статистической физики]. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
* ''[[Кубо, Риого|Кубо Р.]]'' Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика}}
* ''[[Терлецкий, Яков Петрович|Терлецкий Я. П.]]'' Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
* ''[[Уленбек, Джордж Юджин|Уленбек Дж.]], Форд Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/UlenbekFord1965ru.djvu Лекции по статистической механике.] — М.: Мир, 1965.]
* ''Хуанг К.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Huang1966ru.djvu Статистическая механика]. — М.: Мир, 1966.

{{вс}}

[[Категория:Статистическая механика]]