Просмотр кода страницы Характер группы

{{другие значения|Характер (значения)}}
'''Хара́ктер''' — мультипликативная комплекснозначная [[функция (математика)|функция]] на [[группа (математика)|группе]].
Иначе говоря, если <math>G</math> — [[Группа (математика)|группа]], то ''характер'' — это [[гомоморфизм групп|гомоморфизм]] из <math>G</math> в мультипликативную группу [[поле (алгебра)|поля]] (обычно поля [[комплексные числа|комплексных чисел]]).

Иногда рассматриваются только ''унитарные характеры'' — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на [[единичная окружность|единичной окружности]], или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в [[U(1)|<math>U(1)</math>]]. Все прочие гомоморфизмы в <math>k^*</math> называются в таком случае ''квазихарактерами''.

== Связанные определения ==

*Характер [[топологическая группа|топологической группы]] определяется как [[непрерывное отображение|непрерывный]] гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер [[алгебраическая группа|алгебраической группы]] — это [[алгебраическая геометрия#Рациональные функции|рациональный]] гомоморфизм в <math>k^*.</math>

*[[Характер представления группы]] — близкое определение для [[представление группы|представлений групп]], элемент отображается в [[след матрицы|след]] своего представления.

== Свойства ==
*Для произвольной группы <math>G</math> множество характеров <math>\mathrm{Ch}(G)</math> образует [[абелева группа|абелеву группу]] с операцией
*: <math>\chi_a\cdot\chi_b=\chi_{ab}.</math>
**Эту группу называют ''группой характеров''.

*Характеры [[линейная независимость|линейно независимы]], то есть если <math>\chi_1,\chi_2, \ldots , \chi_n </math> — различные характеры группы ''G'', то из равенства <math>a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \cdots + a_n \chi_n = 0 </math> следует, что <math>a_1=a_2=\cdots=a_n=0.</math>

== Характеры в U(1) ==

{{основная статья|Характер (теория чисел)}}

Важным частным случаем характеров являются отображения в [[U(1)|группу комплексных чисел, равных по модулю единице]]. Такие характеры имеют вид <math>\chi(a) = e^{2 \pi \varphi(a) i}</math>, где <math>\varphi:G \to {\mathbb R},\ \forall a, b \in (G, \circ):\ \varphi(a) + \varphi(b) = \varphi(a \circ b)</math>, и широко изучаются<ref>''А. О. Гельфонд, Ю. В. Линник'', Элементарные методы в аналитической теории чисел, М:Физматгиз, 1962 г., с. 61-66, 78-97</ref><ref>''К. Чандрасекхаран'', Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 142-165</ref><ref>''Г. Дэвенпорт'', Мультипликативная теория чисел, М:Наука, 1971 г., с. 44-64</ref><ref>''А. Карацуба'', Основы аналитической теории чисел, М:Наука, 1983 г., с. 114-157</ref> в [[Теория чисел|теории чисел]] в связи с распределением [[Простое число|простых чисел]] в бесконечных [[Арифметическая прогрессия|арифметических прогрессиях]]. В этом случае изучаемой группой является [[Кольцо вычетов|кольцо вычетов <math>{\mathbb Z}_n</math>]] с операцией сложения, а функция <math>\varphi</math> [[Линейная функция|линейна]]. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции <math>\varphi</math> определяет группу характеров, [[Изоморфизм|изоморфную]] группе <math>{\mathbb Z}_n</math>.

{{Hider|
  title = Пример|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

Рассмотрим <math>{{\mathbb Z}}_3 = \left\lbrace{[0], [1], [2]}\right\rbrace</math>

Для <math>\lambda = 0, 1, 2</math> определим

: <math>\chi_\lambda (x) = e^{2 \pi \frac{\lambda x}{3} i}</math>

Множество <math>\left\lbrace{\chi_0, \chi_1, \chi_2}\right\rbrace</math> с операцией [[Поточечная операция|поточечного умножения]] образует группу характеров в <math>U(1)</math>. Нейтральным элементов этой группы является <math>\chi_0</math>, поскольку <math>\forall x \in {\mathbb Z}_3:\ \chi_0 (x) = e^{2 \pi \frac{0 \cdot x} i} = e^0 = 1</math>.

}}

Классическим примером использования характеров по модулю является [[теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии]].

Для бесконечных циклических групп, изоморфных <math>{\mathbb Z}</math>, будет существовать бесконечное множество характеров вида <math>{\chi_{\alpha}} (n) = e^{2 \pi n \alpha i}</math>, где <math>\alpha \in (0;1)</math>.

=== Характеры конечнопорождённых групп ===

Для произвольной [[Конечнопорождённая абелева группа|конечнопорождённой абелевой группы]] <math>(G, \circ)</math> также можно<ref>''К. Чандрасекхаран'', Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 145-147</ref> явно и конструктивно описать множество характеров в <math>U(1)</math>. Для этого используется [[Конечнопорождённая абелева группа#Классификация|теорема о разложении]] такой группы в [[Прямое произведение#Прямое произведение групп|прямое произведение]] [[Циклическая группа|циклических групп]].

Поскольку любая циклическая группа порядка <math>h</math> изоморфна группе <math>{\mathbb Z}_h</math> и её характеры в <math>U(1)</math> всегда отображаются во множество <math>\left\lbrace{e^{2 \pi \frac{k}{h} i}:\ k=0, \dots, h-1}\right\rbrace</math>, то для группы, представленной прямым произведением <math>G = G_1 \otimes \dots \otimes G_s</math>, циклических групп <math>G_i = \left\lbrace{{g_i}^{k}\ :\ 0 \le k < n_i}\right\rbrace</math>, можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

: <math>\chi_{k_1, \dots, k_s} (x) = e^{2 \pi \frac{k_1}{n_1}} \cdot e^{2 \pi \frac{k_s}{n_s}} = e^{2 \pi (\frac{k_1}{n_1} + \dots + \frac{k_s}{n_s})}, 0 \le k_i < n_i</math>

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой <math>G</math> и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

: <math>{g_1}^{k_1} \circ \dots \circ {g_s}^{k_s} \mapsto \chi_{k_1, \dots, k_s}</math>

=== Свойства характеров конечных групп ===

Для <math>g \in G</math> обозначим через <math>\chi_g : G \to U(1)</math> характер, соответствующий элементу <math>g</math> по описанной выше схеме.

Справедливы<ref>''К. Чандрасекхаран'', Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 147-159</ref> следующие тождества:

: <math>\sum \limits_{g \in G} {\chi (g)} = \left\lbrace{ \begin{matrix} 0, & \chi \not = \chi_0 \\ |G|, & \chi = \chi_0 \end{matrix} }\right.</math>

: <math>\sum \limits_{x \in G} {\chi_g (x)} = \left\lbrace{ \begin{matrix} 0, & x \not = 0 \\ |G|, & x = 0 \end{matrix} }\right.</math>

== Вариации и обобщения ==

Если <math>A</math> — [[ассоциативная алгебра|ассоциативная]] [[алгебра над полем]] <math>k</math>, характер <math>A</math> — это ненулевой гомоморфизм алгебры <math>A</math> в <math>k</math>. Если при этом <math>A</math> — [[звёздная алгебра]],{{уточнить}} то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

== См. также ==
* [[Двойственность Понтрягина]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор= Кириллов А. А.|заглавие= Элементы теории представлений|издание= 2-е|ссылка= |место= М.|издательство= Наука|год= 1978|страниц= 343}}
* {{книга |автор= Наймарк М. А.|заглавие= Теория представления групп|ссылка= |место= М.|издательство= |год= 1978|страниц= 560}}

{{Нет ссылок|дата=15 мая 2011}}

{{Характеры}}
{{Теория групп}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Теория представлений]]