Характер группы

Шаблон:Другие значения Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $G$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $G$ в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в $U(1)$. Все прочие гомоморфизмы в $k^{*}$ называются в таком случае квазихарактерами.

Связанные определения

• Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в $k^{*}.$

• Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.

Свойства

• Для произвольной группы $G$ множество характеров $\mathrm{C}\mathrm{h}(G)$ образует абелеву группу с операцией

  ${\chi }_a\cdot {\chi }_b={\chi }_{ab}.$

  • Эту группу называют группой характеров.

• Характеры линейно независимы, то есть если ${\chi }_1,{\chi }_2,\dots ,{\chi }_n$ — различные характеры группы G, то из равенства $a_1{\chi }_1+a_2{\chi }_2+\cdots +a_n{\chi }_n=0$ следует, что $a_1=a_2=\cdots =a_n=0.$

Характеры в U(1)

Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид $\chi (a)=e^{2\pi \phi (a)i}$, где $\phi :G\to ℝ,\mathrm{\forall }a,b\in (G,\circ ):\phi (a)+\phi (b)=\phi (a\circ b)$, и широко изучаются в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов ${\mathbb{Z}}_n$ с операцией сложения, а функция $\phi$ линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции $\phi$ определяет группу характеров, изоморфную группе ${\mathbb{Z}}_n$.

Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Для бесконечных циклических групп, изоморфных $\mathbb{Z}$, будет существовать бесконечное множество характеров вида ${\chi }_{\alpha }(n)=e^{2\pi n\alpha i}$, где $\alpha \in (0;1)$.

Характеры конечнопорождённых групп

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы $(G,\circ )$ также можно явно и конструктивно описать множество характеров в $U(1)$. Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка $h$ изоморфна группе ${\mathbb{Z}}_h$ и её характеры в $U(1)$ всегда отображаются во множество $\left\{e^{2\pi \frac{k}{h}i}:k=0,\dots ,h-1\right\}$, то для группы, представленной прямым произведением $G=G_1\otimes \dots \otimes G_s$, циклических групп $G_i=\left\{{g_i}^k:0\le k<n_i\right\}$, можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

${\chi }_{k_1,\dots ,k_s}(x)=e^{2\pi \frac{k_1}{n_1}}\cdot e^{2\pi \frac{k_s}{n_s}}=e^{2\pi (\frac{k_1}{n_1}+\dots +\frac{k_s}{n_s})},0\le k_i<n_i$

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой $G$ и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

${g_1}^{k_1}\circ \dots \circ {g_s}^{k_s}\mapsto {\chi }_{k_1,\dots ,k_s}$

Свойства характеров конечных групп

Для $g\in G$ обозначим через ${\chi }_g:G\to U(1)$ характер, соответствующий элементу $g$ по описанной выше схеме.

Справедливы следующие тождества:

$\sum _{g\in G}\chi (g)=\{\begin{array}{cc}0,& \chi ={\chi }_0\\ |G|,& \chi ={\chi }_0\end{array}$

$\sum _{x\in G}{\chi }_g(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x=0\\ |G|,& x=0\end{array}$

Вариации и обобщения

Если $A$ — ассоциативная алгебра над полем $k$, характер $A$ — это ненулевой гомоморфизм алгебры $A$ в $k$. Если при этом $A$ — звёздная алгебра,Шаблон:Уточнить то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

См. также

• Двойственность Понтрягина

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга