Просмотр кода страницы Хи-функция Лежандра

'''Хи-функция Лежандра''' — это [[специальная функция]], названная по имени французского математика [[Адриен Мари Лежандр]]а.  Хи-функция Лежандра определяется [[ряд Тейлора|рядом Тейлора]] также являющимся [[ряд Дирихле|рядом Дирихле]]:

:<math>
\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}.
</math>

Таким образом Хи-функция Лежандра тривиально выражается через [[полилогарифм]]:

:<math>\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]</math>

Хи-функция Лежандра возникает в [[дискретное преобразование Фурье|дискретном преобразовании Фурье]], по индексу ''ν'' [[дзета-функция Гурвица|дзета-функции Гурвица]], а также  [[Многочлены Эйлера|многочленов Эйлера]].

Хи-функция Лежандра является частным случаем {{нп1|дзета-функция Лерха|дзета-функции Лерха|en|Lerch zeta function}}:
:<math>\chi_n(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^2,n,1/2).</math>

== Литература ==
* {{статья | автор = Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski| заглавие = Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments  | язык = en | ссылка = http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01091-1/S0025-5718-99-01091-1.pdf | издание = Math. Comp.| год = 1999| номер = 68 | страницы = 1623-1630}}
* {{статья |автор = Djurdje Cvijović|язык = en |год = 2006
|ISSN=	0022247X|заглавие ="Integral representations of the Legendre chi function"|издание =	Journal of Mathematical Analysis and Applications|том = 2| номер = 332| страницы = 1056-1062}}

== Ссылки ==
* {{mathworld|urlname=LegendresChi-Function |title=Legendre's Chi Function}}

[[Категория:Дзета- и L-функции]]