Просмотр кода страницы Шестнадцатая проблема Гильберта

'''Шестнадцатая проблема Ги́льберта''' — одна из [[Проблемы Гильберта|23 задач]], которые [[Гильберт, Давид|Давид Гильберт]] предложил 8 августа 1900 года на [[Международный конгресс математиков|II Международном конгрессе математиков]].

Исходно называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» ({{lang-de|Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen}}). Впоследствии фактически разделилась на две похожие проблемы в разных областях математики:
* исследование взаимного расположения [[овал]]ов вещественных [[алгебраическая кривая|алгебраических кривых]] степени <math>n</math> (и аналогичный вопрос для [[алгебраическая поверхность|алгебраических поверхностей]]);
* получение верхней оценки на число [[Предельный цикл|предельных циклов]] полиномиального [[Векторное поле|векторного поля]] степени <math>n</math> (и исследование их взаимного расположения).

== Исходная постановка ==
<!-- TODO: привести цитаты, не забыть отметить, что вторую часть Г. упомянул вскользь — «тем же методом»… -->

Первая (алгебраическая) часть:
{{начало цитаты}}
Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая <math>n</math>-го порядка, было определено [[Гарнак, Аксель|Гарнаком]] {Math. Ann., 10 (1876), 189—192}. <…>
''Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве''; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.<ref name="HilbertRus">Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и [[Дорофеева, Алла Владимировна|А. В. Дорофеева]], опубликован в книге {{книга
 |автор         =
 |часть         =
 |заглавие      = Проблемы Гильберта
 |оригинал      =
 |ссылка        = http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm
 |ответственный = под ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]]
 |издание       =
 |место         = {{М}}
 |издательство  = Наука
 |год           = 1969
 |том           =
 |страницы      = 39
 |страниц       = 240
 |серия         =
 |isbn          =
 |тираж         = 10700
 |archive-date  = 2011-10-17
 |archive-url   = https://web.archive.org/web/20111017232946/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm
}} {{Cite web |url=http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm |title=Архивированная копия |access-date=2010-01-03 |archive-date=2011-10-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111017232946/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm |deadlink=yes }}</ref>.
{{oq|de|'''16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen.'''

Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve ''n''-ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich — freilich auf einem recht umständlichen Wege — davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich außerhalb von einander verlaufen dürfen, sondern daß ein Zug existiren muß, in dessen Innerem ein Zug und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel einer algebraischen Fläche im Raume — ist doch bisher noch nicht einmal bekannt, wieviel Mäntel eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886}<ref name="Hilbert">{{cite web
 |author        = [[Гильберт, Давид|David Hilbert]]
 |authorlink    =
 |datepublished =
 |url           = http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
 |deadlink      = yes
 |title         = Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900
 |format        =
 |work          =
 |publisher     =
 |accessdate    = 2009-08-27
 |lang          = de
 |description   = Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже
 |archiveurl    = https://web.archive.org/web/20090717004505/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
 |archivedate   = 2009-07-17
}}</ref>.}}
{{конец цитаты}}

Вторая (дифференциальная) часть:
{{начало цитаты}}
В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <…>, а именно, вопрос ''о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида''
: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{Y}{X} ,</math>
где <math>X</math>, <math>Y</math> — целые рациональные функции <math>n</math>-й степени относительно <math>x</math>, <math>y</math>, или, в однородной записи,
: <math>
X\left( y \frac{dz}{dt} - z \frac{dy}{dt}\right) + Y \left(z \frac {dx}{dt} - x \frac{dz}{dt} \right) + Z \left(x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} \right) = 0,
</math>
где <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> — целые рациональные однородные функции <math>n</math>-й степени относительно <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, которые и нужно определять как функции параметра <math>t</math>.<ref name="HilbertRus" />
{{oq|de| Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der durch Differentialgleichungen definirten Curvenschaaren von entsprechender Bedeutung ist — nämlich die Frage nach der Maximalzahl und Lage der Poincaréschen Grenzcykeln (cycles limites) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{Y}{X} ,</math>
wo ''X'', ''Y'' ganze rationale Funktionen nten Grades in ''x'', ''y'' sind, oder in homogener Schreibweise
:<math>
X\left( y \frac{dz}{dt} - z \frac{dy}{dt}\right) + Y \left(z \frac {dx}{dt} - x \frac{dz}{dt} \right) + Z \left(x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} \right) = 0
</math>
wo ''X'', ''Y'', ''Z'' ganze rationale homogene Functionen nten Grades von ''x'', ''y'', ''z'' bedeuten und diese als Funktionen des Parameters ''t'' zu bestimmen sind.<ref name="Hilbert" />}}
{{конец цитаты}}

== История первой части ==
К моменту доклада Гильберта [[Ньютон, Исаак|Ньютоном]] и [[Декарт]]ом были получены<ref>В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39.</ref> топологические описания кривых степени 3 и 4, а доказанная [[Гарнак, Аксель|Гарнаком]] [[Теорема Гарнака о кривых|теорема]] позволяла оценить число [[компонента связности|компонент связности]] кривой: оно не могло превосходить <math>g + 1</math>, где <math>g = (d - 1)(d - 2)/2</math> — её [[род поверхности|род]].

В докладе Гильберт сообщил:
{{quote|Что же касается кривых шестого порядка, то я — правда, на довольно сложном пути — убедился, что те 11 ветвей, которые получаются по Харнаку, никогда не расположены все вне друг друга; всегда существует одна ветвь, внутри которой есть ещё одна, и вне которой находятся остальные девять, или наоборот.}}

Однако, как было обнаружено<ref name="arn-43">В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 43.</ref> в 1970-х годах [[Гудков, Дмитрий Андреевич|Дмитрием Гудковым]], также возможным является случай, когда внутри и вне одной кривой находятся по 5 овалов — случай, который Гильберт считал невозможным. Анализируя свои построения, Гудков высказал гипотезу,
утверждавшую для <math>M</math>-кривых чётной степени<math>2k</math> сравнимость по модулю 8 с числом <math>k^2</math>[[эйлерова характеристика|эйлеровой характеристики]] множества <math>B</math> точек проективной плоскости, в которых многочлен, задающий кривую, положителен, при условии, что знак этого многочлена выбран так, что <math>B</math> ориентируемо. В частности, это объясняло, что в трёх реализующихся типах <math>M</math>-кривых степени 6 числа овалов внутри, 1, 5 и 9, идут через 4.

При <math>k = 3</math> эта гипотеза была доказана самим Гудковым. В общем случае она была доказана [[Арнольд, Владимир Игоревич|Владимиром Арнольдом]]<ref>В. И. Арнольд, «О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырёхмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм», Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 1-9.</ref> в ослабленной форме сравнения по модулю 4, а затем [[Рохлин, Владимир Абрамович|Владимиром Рохлиным]]<ref>В. А. Рохлин, «Доказательство гипотезы Гудкова», Функц. анализ и его прил., 6:2 (1972), 62-64.</ref><ref>В. А. Рохлин, «Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта», Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 58-64.</ref> в полной общности, при рассмотрении специальным образом построенных четырёхмерных многообразий<ref name="arn-43" />.

Построение различных примеров также привело [[Виро, Олег Янович|Олега Виро]] к созданию техники, позже названной [[склейка Виро|склейкой Виро]], позволяющей «склеивать из кусочков с заданным поведением» алгебраические кривые.

В 1972—1976 годах [[Харламов, Вячеслав Михайлович|Вячеслав Харламов]] дал решение частного случая, касающегося количества компонент и топологии алгебраических поверхностей четвёртого порядка в трёхмереном проективном пространстве.
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

== История второй части ==

=== Индивидуальная теорема конечности ===
Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать ''индивидуальная теорема конечности'': полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика [[Дюлак, Анри|Анри Дюлака]]<ref>Dulac, H. Sur les cycles limits. ''Bull. Soc. Math. France'', '''51''': 45-188 (1923); // русский перевод: ''Дюлак А. '' О предельных циклах.— М.: Наука, 1980</ref> и долгое время считалась доказанной.

В 1980-х годах [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Юлием Ильяшенко]] был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака<ref>''Ильяшенко Ю. С.'' О проблеме конечности числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.— ''УМН'', 1982, т. '''37''', вып. 4, с. 127.</ref><ref>Ю''. С. Ильяшенко''. «Мемуар Дюлака „О предельных циклах“ и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений», УМН, '''40''':6(246) (1985), 41-78</ref>, и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991—92 года, когда Ильяшенко<ref>Yu. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.</ref> и Экаль<ref>J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.</ref> одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги)<ref>{{Cite web |url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8352&option_lang=rus |title=Ю. С. Ильяшенко. Теоремы конечности для предельных циклов: схема обновленного доказательства. Изв. РАН. Сер. матем., 80:1 (2016), 55–118 |access-date=2016-09-08 |archive-date=2016-09-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160915212644/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8352&option_lang=rus |url-status=live }}</ref>.

{{Дополнить раздел|посвящён=стратегии Дюлака: накопление к полициклу, разрешение особенностей и асимптотические ряды|дата=2009-02-11}}

=== Стратегия Петровского — Ландиса ===

=== Квадратичные векторые поля ===

=== Ослабленные версии проблемы ===
{{В планах|посвящён=истории второй части: индивидуальная теорема конечности (полициклы) — Дюлак, стратегия Петровского-Ландиса, непродолжаемость, поле Ши Сонглинга, ошибка Дюлака, теорема Ильяшенко-Экаля об индивидуальной конечности, ослабленные версии, теорема Варченко-Хованского, теорема Яковеко-Новикова-Биньямини.|дата=2009-02-11}}

== См. также ==
* [[Проблема Гильберта — Арнольда]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39-45.
* М. Э. Казарян, [http://www.mccme.ru/dubna/2006/notes/Kazaryan.pdf Тропическая геометрия], записки лекций.
* Ю. С. Ильяшенко, Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В сборнике [http://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1»], М.: МЦНМО, 2004. // Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301—354.
* Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

{{rq|isbn}}
{{Проблемы Гильберта}}

[[Категория:Проблемы Гильберта|#16]]
[[Категория:Алгебраическая геометрия]]
[[Категория:Динамические системы]]
[[Категория:Открытые математические проблемы]]