Шестнадцатая проблема Гильберта

Шестнадцатая проблема Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Исходно называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» (Шаблон:Lang-de). Впоследствии фактически разделилась на две похожие проблемы в разных областях математики:

• исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени $n$ (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей);
• получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени $n$ (и исследование их взаимного расположения).

Исходная постановка

Первая (алгебраическая) часть: Шаблон:Начало цитаты Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая $n$-го порядка, было определено Гарнаком {Math. Ann., 10 (1876), 189—192}. <…> Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты

Вторая (дифференциальная) часть: Шаблон:Начало цитаты В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <…>, а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида

$\frac{dy}{dx}=\frac{Y}{X},$

где $X$, $Y$ — целые рациональные функции $n$-й степени относительно $x$, $y$, или, в однородной записи,

$X(y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt})+Y(z\frac{dx}{dt}-x\frac{dz}{dt})+Z(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt})=0,$

где $X$, $Y$, $Z$ — целые рациональные однородные функции $n$-й степени относительно $x$, $y$, $z$, которые и нужно определять как функции параметра $t$. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты

История первой части

К моменту доклада Гильберта Ньютоном и Декартом были получены топологические описания кривых степени 3 и 4, а доказанная Гарнаком теорема позволяла оценить число компонент связности кривой: оно не могло превосходить $g+1$, где $g=(d-1)(d-2)/2$ — её род.

В докладе Гильберт сообщил: Шаблон:Quote

Однако, как было обнаружено в 1970-х годах Дмитрием Гудковым, также возможным является случай, когда внутри и вне одной кривой находятся по 5 овалов — случай, который Гильберт считал невозможным. Анализируя свои построения, Гудков высказал гипотезу, утверждавшую для $M$-кривых чётной степени$2k$ сравнимость по модулю 8 с числом $k^2$эйлеровой характеристики множества $B$ точек проективной плоскости, в которых многочлен, задающий кривую, положителен, при условии, что знак этого многочлена выбран так, что $B$ ориентируемо. В частности, это объясняло, что в трёх реализующихся типах $M$-кривых степени 6 числа овалов внутри, 1, 5 и 9, идут через 4.

При $k=3$ эта гипотеза была доказана самим Гудковым. В общем случае она была доказана Владимиром Арнольдом в ослабленной форме сравнения по модулю 4, а затем Владимиром Рохлиным в полной общности, при рассмотрении специальным образом построенных четырёхмерных многообразий.

Построение различных примеров также привело Олега Виро к созданию техники, позже названной склейкой Виро, позволяющей «склеивать из кусочков с заданным поведением» алгебраические кривые.

В 1972—1976 годах Вячеслав Харламов дал решение частного случая, касающегося количества компонент и топологии алгебраических поверхностей четвёртого порядка в трёхмереном проективном пространстве. Шаблон:Дополнить раздел

История второй части

Индивидуальная теорема конечности

Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать индивидуальная теорема конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика Анри Дюлака и долгое время считалась доказанной.

В 1980-х годах Юлием Ильяшенко был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака, и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991—92 года, когда Ильяшенко и Экаль одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги).

См. также

• Проблема Гильберта — Арнольда

Литература

• В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39-45.
• М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.
• Ю. С. Ильяшенко, Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В сборнике «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1», М.: МЦНМО, 2004. // Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301—354.
• Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.