Теорема Гарнака о кривых

Эллиптическая кривая (степени 3) слева является $M$-кривой, поскольку имеет максимум (2) компонент, в то время как кривая справа имеет только одну компоненту.

Теорема Гарнака о кривых — утверждение алгебраической геометрии, дающее возможное число связных компонент, которое может иметь алгебраическая кривая в терминах степени кривой — для любой алгебраической кривой степени $m$ на вещественной проективной плоскости число компонент $c$ ограничено выражением:

$\frac{1-(-1{)}^m}{2}⩽c⩽\frac{(m-1)(m-2)}{2}+1$.

Установлена Акселем Гарнаком в 1876 году; отталкиваясь от этого результата Гильберт сформулировал шестнадцатую проблему.

Максимальное число компонент на единицу больше максимального рода кривой порядка $m$, достигаемого в случае несингулярности кривой. Более того, любое число компонент в этом диапазоне возможных значений может быть достигнуто.

Кривая Тротта с показанными здесь 7 касательными является квартикой (степени 4), $M$-кривой, достигающей максимального числа (4) компонент для кривых такой степени.

Шаблон:ЯкорьКривая, достигающая максимального числа вещественных компонент, называется $M$-кривой (от Шаблон:Lang-la2). Например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как $y^2=x^3-x,$ или кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами $M$-кривых.

В 2000-е годы установлено, что кривые Гарнака — это кривые, амёба которых имеет площадь, равную Шаблон:Не переведено 5 многочлена $P$, который называется характеристической кривой димерных моделей, и любая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторой модели димеровШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья