Просмотр кода страницы Эвольвента

{{Falseredirect|Инволюта}}
[[Файл:Involute gears.svg|201px|thumb|Две [[Параллельная кривая|параллельные]] эвольвенты окружности — боковые части профиля в [[зубчатое колесо|зубчатом колесе]] с [[Эвольвентное зацепление|эвольвентным зацеплением]]]]
[[Файл:Animated involute of circle.gif|right|thumb|Анимация построения [[Эвольвента окружности|эвольвенты окружности]] — эвольвента как разматывающаяся нить]]

'''Эвольве́нта''' (от {{lang-la|evolvens}}, родительный падеж evolventis «разворачивающий»{{sfn|''Эвольвента'', 1988}}{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}), или '''инволю́та'''{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.1. Evolute, Involute, and Radial, p. 41}}, или '''развёртка'''{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}, плоской [[Кривая|кривой]] <math>L</math> — это плоская кривая <math>L_*</math>, по отношению к которой <math>L</math> является [[эволюта|эволютой]]{{sfn|''Эвольвента'', 1988}}{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Эвольвента, 1985, 1988}}{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}.

То есть '''эвольвента''' — кривая, [[нормаль]] в каждой точке которой есть [[Касательная прямая|касательная]] к исходной кривой, иными словами, '''эвольвента''' — ортогональная траектория касательных к исходной кривой{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}.

Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом:
* '''эвольвента''' — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»){{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}.

Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}:
* касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты;
* всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента;
* разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой.

У каждой кривой бесконечно много эвольвент{{sfn|''Эволюта и эвольвента'', 1978}}, которые [[Параллельная кривая|параллельны]] друг другу{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.1. Evolute, Involute, and Radial, p. 41}}.

== Уравнения эвольвенты ==
Если линия <math>L</math> задана уравнением <math>\bar{r} = \bar{r}(s)</math> (где <math>s</math> — [[натуральный параметр]]), то уравнение её эвольвенты имеет вид
: <math>\bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}}</math>,
где <math>\alpha</math> — произвольный параметр{{sfn|''Эвольвента'', 1988}}{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Эвольвента, 1985, 1988}}.

Для [[Параметрическое представление|параметрически заданной]] кривой уравнение эвольвенты
: <math>X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}</math>
: <math>Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}</math>

== Примеры эвольвенты ==
[[Эвольвента окружности|Эвольвентой окружности]] является спиралевидная кривая.
Её параметрические уравнения имеют следующий вид:
: <math>x = r (\cos(t)+t\sin(t)),</math>
: <math>y = r (\sin(t)-t\cos(t)),</math>
на комплексной плоскости уравнения упрощаются{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter Ι. The complex plane, p. 5}}:
: <math>z = r (1 - it)e^{it},</math>
где <math>t</math> — угол, a <math>r</math> — радиус
[[Файл:Involute.gif|thumb|225px|right|Эвольвента [[Цепная линия|цепной линии]]]]

== Применения ==
* В технике [[Эвольвента окружности|эвольвенту окружности]] используют:
* как профиль зуба для [[Зубчатое колесо|колёс зубчатой передачи]] с [[Эвольвентное зацепление|эвольвентным зацеплением]];
* в {{iw|Спиральный вакуумный насос|спиральных вакуумных насосах|en|Scroll compressor}}.

== См. также ==
{{wiktionary|эвольвента}}
* [[Каустика]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{h|''Соколов Д. Д.'' Эвольвента, 1985|3=
''Соколов Д. Д.'' Эвольвента // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 921—922.
}}
* {{h|''Эвольвента'', 1988|3=
''Эвольвента'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 640.
}}
* {{h|''Эволюта и эвольвента'', 1978|3=
''Эволюта и эвольвента'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1975. Т. 29. Чаган — Экс-ле-Бен. 1978. 640 с. с илл., 22 л. илл., 6 л. карт. С. 556.
}}
* {{h|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|3=
''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
}}
* {{h|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|3=
''{{iw|Цвиккер, корнелис|Zwikker C.|en|Cornelis Zwikker}}'' {{iw|Цвиккер, корнелис|The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications|en|Cornelis Zwikker#Books}}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.
}}

{{geometry-stub}}
{{нет ссылок|дата=5 декабря 2019}}

{{Дифференциальные преобразования кривых}}
{{Кривые}}
{{Нерабочие сноски|дата=2024-02-10}}

[[Категория:Кривые]]