Просмотр кода страницы Экстремаль

'''Экстремаль''' (от {{lang-lat|}} ''extremus'' — крайний), [[интегральная кривая]] дифференциального уравнения Эйлера в [[вариационное исчисление|вариационном исчислении]]. Является гладким решением [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|{{comment|уравнения Эйлера|необходимое условие экстремума в задаче вариационного исчисления}}]].

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении экстремума функционала
{{EF|:|<math>J(y)=\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x,y,y^\prime)\! ~dx</math>|ref=1}}

среди гладких кривых <math>y(x),</math> удовлетворяющих граничным условиям
{{EF|:|<math>y(x_1)=y_1, \, y(x_2)=y_{2}.</math>|ref=2}}

тогда [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|уравнение Эйлера]] примет вид

<math>F_y-\frac{d}{dx}\!F_{y'} = 0</math>

обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка, которое в развёрнутом виде запишется следующим образом

{{EF|:|<math>F_{y'y'}y''+F_{y'y}y'+F_{y'x}-F_{y}=0</math>|ref=3}}

<math>y(x)</math> называется экстремалем, если экстремум в {{eqref|1|(1)}}, {{eqref|2|(2)}} достигается на гладкой кривой <math>y(x)</math>, <math>x_1\leqslant x \leqslant x_2</math>, то есть если <math>y(x)</math> является решением [[Уравнение Эйлера|уравнения Эйлера]] {{eqref|3|(3)}}.

== Ссылки ==
{{Викисловарь|экстремаль}}
* {{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Экстремаль|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}} — [[Математическая энциклопедия]].
* {{Из БСЭ|заглавие=Экстремаль}}
* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=differentsialnoe-uravnenie-eilera Дифференциальное уравнение Эйлера], математический форум ''MathHelpPlanet.''

{{math-stub}}
{{rq|style|wikify|topic=math}}

[[Категория:Вариационное исчисление]]