Просмотр кода страницы Эллиптический интеграл

'''Эллипти́ческий интегра́л''' — некоторая [[Функция (математика)|функция]] <math>f</math> над полем [[Вещественное число|действительных]] или [[Комплексное число|комплексных чисел]], которая может быть формально представлена в следующем виде:

: <math> f(x) = \int \limits_{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt</math>,

где <math>R</math> — [[рациональная функция]] двух аргументов, <math>P</math> — [[квадратный корень]] из [[многочлен]]а 3-й или 4-й степени, не имеющего [[Корень многочлена#Кратные корни|кратных корней]], <math>c</math> — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в [[Элементарные функции|элементарных функциях]]. Исключением являются случаи, когда <math>P</math> имеет кратные корни или когда многочлены в <math>R(x,\;y)</math> не содержат нечётных степеней <math>y</math>.

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх ''нормальных эллиптических интегралов'', называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).
<!--
Besides the forms given below, the elliptic integrals may also be expressed in [[Legendre form]] and [[Carlson symmetric form]]. Additional insight into the theory of the elliptic integral may be gained through the study of the [[Schwarz-Christoffel mapping]].
//-->

== История ==
В [[Интегральное исчисление|интегральном исчислении]] '''эллиптический интеграл''' появился в связи с задачей вычисления [[Эллипс#Длина дуги эллипса|длины дуги эллипса]] и был впервые исследован [[Джулио Карл ди Фаньяно дей Тоски|Джулио Фаньяно]], а позднее — [[Леонард Эйлер|Леонардом Эйлером]].

== Обозначения ==
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

* <math>\alpha</math> — '''модулярный угол''' (иногда модулярный угол обозначается [[Лигатура (соединение букв)|лигатурой]] <math>o\!\varepsilon</math>);
* <math>k=\sin \alpha</math> — '''модуль эллиптического интеграла''';
* <math>m=k^2=\sin^2 \alpha</math> — '''параметр'''.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля <math>k</math> (и модулярного угла <math>\alpha</math>). Их область определения <math>-1 \le k \le +1.</math>

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают '''характеристику''' нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., ''Корн Г., Корн Т.'' «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

* <math>x=\sin \varphi= \operatorname{sn} u,</math> где <math>\operatorname{sn}</math> — [[Эллиптические функции Якоби|эллиптическая функция Якоби]];
* <math>\varphi = \arcsin x = \operatorname{am} u</math> — '''амплитуда''';
<!-- * <math>u</math>
 -->
Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что <math>u</math> зависит также и от <math>m</math>. Несколько дополнительных уравнений связывают <math>u</math> с другими параметрами:

: <math>\cos \varphi = \operatorname{cn} u</math>

и

: <math>\sqrt{1-m\sin^2 \varphi} = \operatorname{dn} u.</math>

Последнее иногда называется '''дельта амплитуда''' и записывается как
: <math>\Delta(\varphi)=\operatorname{dn} u.</math>

Иногда в литературе ссылаются на ''дополнительный параметр'', ''дополнительный модуль'' или ''дополнительный модулярный угол''. Их вводят следующим способом:
* <math>m_1\,=\,1 - m</math> — '''дополнительный параметр''';
* <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math> — '''дополнительный модуль''';
* <math>{k'}^2=m_1</math> — '''дополнительный модулярный угол'''.

== Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный) ==
'''Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода''' <math>F</math> определяется как

: <math> F(\varphi,\; k ) = 
\int\limits_0^\varphi\!\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}</math>,

или, в форме Якоби,

: <math> F(x,\;k) = \int\limits_{0}^{x}\!\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2 z^2)} }</math>.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется [[вертикальная черта]], за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

: <math> F(\varphi,\;\sin \alpha) = F(\varphi\mid\sin^2 \alpha) = F(\varphi\setminus \alpha )</math>.

=== Частные случаи ===
: <math>F(\varphi \setminus 0) = \varphi</math>;
: <math>F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi</math>;
: <math>F(\varphi \setminus 90^{\circ}) = \ln\left(\operatorname{sec}\varphi +\operatorname{tg}\varphi\right) = \ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)</math>;
: <math>F(i\varphi \setminus 90^\circ) = i\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{sh}\varphi\right)</math>;

<!--
where it is understood that when there is a vertical bar used, the argument following the vertical bar is the parameter (as defined above), and, when a backslash is used, it is followed by the modular angle.
In this sense,
<math> F(\sin\phi;\sin o\!\varepsilon) = F(\phi|\sin (o\!\varepsilon)^2) = F(\phi\setminus o\!\varepsilon )</math>.
These notations are borrowed from the book [[Abramowitz and Stegun]];
the use of the delimiters ; | \ is traditional in elliptic integrals.
There are differing conventions regarding notation of elliptic integrals. The differences can be very confusing, especially to a novice, see [http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AElliptic_integral].
The functions, which evaluate the elliptic integrals, do not have standard and unic names and meanings
(like [[square root|sqrt]], [[sin]] and [[Error function|erf]] have). Different notations are used in the literature.
Gradstein, Ryzhik
[http://www.amazon.ca/exec/obidos/ASIN/0122947576], Eq.(8.111)] and the [[Wikipedia]] article [[Legendre form]] use notation <math> F(\phi,k)</math>,
which is equivalent to our <math> F(\phi|k^2)</math>;
also <math> E(\phi,k)=E(\phi|k^2)</math> below.
For example, if one translates code from the language of [[Mathematica]] into the language of [[Maple computer algebra system|Maple]],
one should replace the argument of the '''EllipticK''' function by its [[square root]],
and correspondingly, in the translation from Maple to Mathematica the argument should be replaced by its [[square (algebra)|square]].
EllipticK(x) in Maple is almost equivalent of EllipticK[x²] in Mathematica;
one may expect to get the same result in both systems, at least while 0<x<1.

Note that
:<math>F(x;k) = u</math>
with ''u'' as defined above: thus, the [[Jacobian elliptic functions]] are inverses to the elliptic integrals.
//-->

== Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный) ==
'''Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода''' {{math|''E''}} определяется как

: <math> E(\varphi,\; k) = \int\limits_0^\varphi\!\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}\,d\theta</math>

или, используя подстановку <math>x=\sin\varphi,</math>

: <math> E(x,\;k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{\sqrt{1 - k^2 z^2}}{\sqrt{1 - z^2}}\,dz.</math>

=== Частные случаи ===
: <math>E(\varphi, 0) = \varphi</math>;
: <math>E(i\varphi, 0) = i\varphi</math>;
: <math>E(\varphi, 1) = \sin\varphi</math>;
: <math>E(i\varphi, 1) = i\,\operatorname{sh}\varphi</math>.

<!--
Дополнительные соотношения:

: <math>E(\varphi, m) = \int\limits_0^u \textrm{dn}^2 w \;dw =
u-m\int\limits_0^u \textrm{sn}^2 w \;dw = 
(1-m)u+m\int\limits_0^u \textrm{cn}^2 w \;dw.</math>
//-->

== Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный) ==
'''Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода''' <math>\Pi</math> определяется как

: <math> \Pi(c;\; \varphi,\; k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\theta}{(1+c \sin^2 \theta) \sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}</math>

или

:<math> \Pi(c;\; x,\; k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}</math>
<!--
or

:<math> \Pi(n; \phi|m) = \int\limits_0^u \frac{dw}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m)}. \;</math>

//-->
Число <math>c</math> называется '''характеристикой''' и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла <math>\Pi(-1;\; \pi/2 \mid m)</math> стремится к бесконечности для любых <math>m</math>.

=== Гиперболический случай ===

==== (0 < ''c'' < ''m'') ====
Введём дополнительные обозначения:
: <math>\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{n}{\sin^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2}</math>;
: <math>\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;
: <math>q=q(\alpha)</math>;
: <math>\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;
: <math>\delta_1=\sqrt{ \frac{c} {(1-c)(\sin^2\alpha - c)} }</math>;
: <math>K(\alpha)</math> — [[#Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода|полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода]].

Тогда  можно записать интеграл через [[тета-функции]] Якоби:
: <math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = \delta_1\left(-\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} + \nu\,\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)}\right),</math>

где
:<math>\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}</math>

и
: <math>\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)} = \operatorname{ctg}\,\beta + 4\sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^{2s}}{1 - 2q^{2s}\cos{2\beta} + q^{4s}}\sin{2\beta}.</math>

==== (''c'' > 1) ====
С помощью подстановки <math>C = \frac{\sin^2\alpha}{c}</math> этот случай сводится к предыдущему, так как <math> 0 < C < \sin^2\alpha.</math>

Введём дополнительно величину
: <math>p_1 = \sqrt{(c-1)\left(1 - \frac{\sin^2\alpha}{c}\right)}.</math>

Тогда:
: <math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = - \Pi(C;\; \varphi\setminus\alpha) + F(\varphi \setminus \alpha) + \frac{1}{2p_1}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi) + p_1\operatorname{tg}\,\varphi}{\Delta(\varphi) - p_1\operatorname{tg}\,\varphi}\right).</math>

=== Круговой случай ===
==== (''m'' < ''c'' < 1) ====
Введем дополнительные обозначения:
: <math>\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{1-n}{\cos^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2};</math>
: <math>\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ}-\alpha)}{2\,K(\alpha)};</math>
: <math>q=q(\alpha);</math>
: <math>\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)};</math>
: <math>\delta_2 = \sqrt{\frac{c}{(1-c)(c - \sin^2\alpha)}}.</math>

Тогда эллиптический интеграл равен:
: <math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = \delta_2(\lambda - 4\mu\nu),</math>

где
: <math>\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}</math>

и
: <math>\mu=\dfrac{\sum\limits_{s=1}^{\infty} sq^{s^2}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}}{1+\sum\limits_{s=1}^{\infty} q^{s^2}\,\operatorname{ch}\,{2s\beta}}</math>

==== (''c'' < 0) ====
С помощью подстановки <math>C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}</math> этот случай сводится к предыдущему, так как <math> \sin^2\alpha\ < C < 1.</math>

Введем дополнительно величину
: <math>p_2 = \sqrt{\frac{-c\,(\sin^2\alpha-c)}{1-c}}.</math>

Тогда:

: <math>\sqrt{(1-c)\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{c}\right)}\,\Pi(c;\; \varphi \setminus \alpha) = \sqrt{(1-C)\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{C}\right)}\,\Pi(C;\; \varphi \setminus \alpha)\, +\, \frac{\sin^2\alpha\,F(\varphi \setminus \alpha)}{p_2}\, +\, \operatorname{arctg}\,\left(\frac{p_2}{2}\frac{\sin{2\varphi}}{\Delta(\varphi)}\right)</math>

== Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода ==
[[Файл:Mplwp complete ellipticKk.svg | 350 px|right]]
В случае, если амплитуда <math>\varphi</math> нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна <math>\pi/2</math>, он называется ''полным'' нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

: <math>K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = F(\pi/2,\; k)</math>

или

: <math>K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2)}}.</math>

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде [[степенной ряд|степенного ряда]]:

: <math>K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right)^2 k^{2n},</math>

что эквивалентно выражению

: <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \ldots + \left(\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}\right)^2 k^{2n} + \ldots \right),</math>

где <math>n!!</math> обозначает [[двойной факториал]].

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через [[гипергеометрическая функция|гипергеометрическую функцию]] следующим образом:

: <math>K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{2};\; 1;\; k^2\right).</math>

=== Частные случаи ===
: <math>K(0) = \frac{\pi}{2}.</math>
: <math>K(1) = \infty.</math>
: <math>K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}{4 \sqrt{\pi}}.</math>
: <math>K\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}.</math>
: <math>K\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{3}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}.</math>

: <math>\operatorname{sn}\,K = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1.</math>
: <math>\operatorname{cn}\,K = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0.</math>
: <math>\operatorname{dn}\,K = \sqrt{1-k^2} = k'.</math>

=== Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода ===

: <math>\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k} = \frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k},</math>

где <math>E(k)</math> — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

=== Дифференциальное уравнение ===
Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением [[Дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]] 

:<math>\frac{d}{dk}\left(k\left(1-k^2\right)\frac{dK(k)}{dk}\right)=k K(k).</math>

Вторым решением этого уравнения является <math>K\left(\sqrt{1-k^2}\right).</math>

== Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода ==
[[Файл:Mplwp complete ellipticEk.svg |350px|right]]
В случае, если амплитуда <math>\varphi</math> нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна <math>\pi/2</math>, он называется ''полным'' нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

: <math>E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = E(\pi/2,\; k)</math>

или

: <math> E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.</math>

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде [[степенной ряд|степенного ряда]]:

: <math>E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n},</math>

что эквивалентно выражению

: <math>E(k) = \frac{\pi}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \ldots - \left(\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \ldots \right).</math>

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через [[гипергеометрическая функция|гипергеометрическую функцию]] следующим образом:

: <math>E(k) = \frac{\pi}{2}  \,_2F_1 \left(\frac{1}{2},\; -\frac{1}{2};\; 1;\; k^2\right).</math>

=== Частные случаи ===
: <math>E\left(0\right) = \frac{\pi}{2}.</math>

: <math>E\left(1\right) = 1.</math>

: <math>E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}+\frac{\Gamma\left(\frac{1} {4}\right)^2}{8 \sqrt \pi}.</math>

: <math>E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{3}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{-\frac {1}{4}} \frac{\sqrt{3} + 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3.</math>

: <math>E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac{1}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \frac{\sqrt{3} - 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3.</math>

=== Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода ===

: <math>\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)-K(k)}{k}.</math>

=== Дифференциальное уравнение ===
Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

:<math>\left(k^2-1\right) \frac {d} {dk} \left( k \;\frac {dE(k)} {dk} \right) = k E(k).</math>

Вторым решением этого уравнения является функция <math>E\left(\sqrt{1-k^2}\right) - K\left(\sqrt{1-k^2}\right).</math>

== Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода ==
[[Файл:Mplwp complete ellipticPi nfixed k.svg |350px|right]]
Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

: <math> \Pi(c,\; k) = \Pi(c;\; \pi/2,\; k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}</math>

или

: <math> \Pi(c,\; k) = \Pi(c;\; 1,\; k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}.</math>

=== Гиперболический случай ===

==== (0 < c < m) ====
: <math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)</math>,
где <math>\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)</math> — [[Эллиптический интеграл#Дзета-функция Якоби|дзета-функция Якоби]].

==== (c > 1) ====
: <math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) - \Pi(C \setminus \alpha).</math>

=== Круговой случай ===

==== (m < c < 1) ====
: <math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \frac{1}{2}\pi\delta_2\left(1-\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)\right),</math>
где <math>\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)</math> — [[Эллиптический интеграл#Лямбда-функция Хеймана|лямбда-функция Хеймана]].

==== (c < 0) ====
: <math>\Pi(c \setminus \alpha) = -\frac{c\cos^2\alpha\, \Pi(C \setminus \alpha)}{(1-c)(\sin^2\alpha-n)} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha - c}K(\alpha).</math>

=== Частные производные ===
:<math>\begin{align}
\frac{\partial\Pi(c,k)}{\partial c}&=\frac{1}{2\left(k^2-c\right)(c-1)}\left(E(k)+\frac{1}{c}\left(k^2-c\right)K(k)+\frac{1}{c}\left(c^2-k^2\right)\Pi(c,k)\right). \\[10px]

\frac{\partial\Pi(c,k)}{\partial k}&=\frac{k}{c-k^2}\left(\frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(c,k)\right).
\end{align}</math>

== Дополнительные эллиптические интегралы (неполные) ==

=== Дзета-функция Якоби ===
: <math>Z(\varphi\setminus\alpha) = E(\varphi\setminus\alpha) - \frac{E(\alpha)F(\varphi\setminus\alpha)}{K(\alpha)};</math>

=== Лямбда-функция Хеймана ===
: <math>\Lambda_0(\varphi\setminus\alpha) = \frac{F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)}{K'(\alpha)}+\frac{2}{\pi}K(\alpha)\,Z(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)</math>
или
: <math>\Lambda_0(\varphi\setminus\alpha) = \frac{2}{\pi}\left(K(\alpha)\,E(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)-\left(K(\alpha) - E(\alpha)\right)\,F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)\right).</math>

== См. также ==
* [[Эллиптические функции]]
* [[Эллиптическая кривая]]
<!--* [[Carlson symmetric form]] //-->
* [[Специальные функции]]
* [[Аппроксимации эллиптических интегралов]]

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Эллиптические интегралы и функции|[[Бобылёв, Дмитрий Константинович|Бобылёв Д. К.]]}}

== Ссылки ==
* {{АбрамовицСтиган |автор = Милн-Томсон Л.|глава = Эллиптические интегралы |с = 401—441}}
* ''Корн Г., Корн Т.'' Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
* ''Бейтмен Г. Эрдейи А.'' Высшие [[Трансцендентная функция|трансцендентные функции]]. — Т. 3 (гл. 13).
* ''Ахиезер Н. И.'' Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).
* [http://elliptic.googlecode.com/ Эллиптические функции]{{Недоступная ссылка|date=Май 2018 |bot=InternetArchiveBot }}, Процедуры для [[MATLAB|Matlab]].

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{Кривые}}

[[Категория:Эллиптические функции]]
[[Категория:Интегралы]]