Просмотр кода страницы CKM-матрица

{{Ароматы и квантовые числа}}

'''CKM-ма́трица''', '''ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы''' ('''ККМ-матрица''', '''матрица смешивания кварков''', иногда раньше называлась '''KM-матрица''') в [[Стандартная модель|Стандартной модели]] [[физика элементарных частиц|физики элементарных частиц]] — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе '''слабых взаимодействий, изменяющих аромат'''. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами [[квантовое состояние|квантовых состояний]]: состояниями свободно движущихся [[кварк]]ов (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в [[слабое взаимодействие|слабых взаимодействиях]]. Она важна также для понимания [[нарушение CP-симметрии|нарушения CP-симметрии]]. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по [[Стандартная модель (основы)|основам Стандартной модели]]. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками [[Макото Кобаяси]] и [[Маскава, Тосихидэ|Тосихидэ Маскава]], которые добавили одно [[Поколение (физика элементарных частиц)|поколение]] к матрице, ранее предложенной [[Кабиббо, Никола|Николой Кабиббо]].

== Матрица ==
:: <math>\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} \left| d' \right \rangle \\ \left| s' \right \rangle \\ \left| b' \right \rangle \end{bmatrix}.</math>

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором [[сильное взаимодействие|сильных]] собственных состояний кварков, а справа имеем [[слабое взаимодействие|слабые]] собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка {{math|''q''}} к другому кварку {{math|''q' ''}}. Эта вероятность пропорциональна <math>\left| V_{qq'} \right| ^2.</math>

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны ''приблизительно''<ref name="PDG2010">{{статья
|заглавие=Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix
|ссылка=http://pdg.lbl.gov/2010/reviews/rpp2010-rev-ckm-matrix.pdf
|издание=[[Physical Review|Physical Review D]]
|том=80
|номер=1
|страницы=1—1526 [162]
|doi=10.1103/PhysRevD.86.010001
|bibcode=2012PhRvD..86a0001B
|язык=en
|тип=journal
|автор=Beringer J.  (Particle Data Group) et al.
|год=2012
|archivedate=2018-07-14
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180714055423/http://pdg.lbl.gov/2010/reviews/rpp2010-rev-ckm-matrix.pdf
}}</ref>:
: <math>
\begin{bmatrix}
|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\
|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\
|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0{,}97427 \pm 0{,}00015 & 0{,}22534 \pm 0{,}00065 & 0{,}00351^{+0{,}00015}_{-0{,}00014} \\
0{,}22520 \pm 0{,}00065 & 0{,}97344 \pm 0{,}00016 & 0{,}0412^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} \\
0{,}00867^{+0{,}00029}_{-0{,}00031} & 0{,}0404^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} & 0{,}999146^{+0{,}000021}_{-0{,}000046}
\end{bmatrix}.
</math>

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к [[единичная матрица|единичной матрице]].

== Подсчёт ==
Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице {{math|''V''}}, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть {{math|''N''}} поколений кварков ({{math|2''N''}} [[аромат (физика)|ароматов]]), то
# комплексная матрица {{math|''N''×''N''}} содержит {{math|2''N''²}} действительных чисел.
# Ограничивающее условие унитарности {{math|∑<sub>''k''</sub> ''V<sub>ik</sub>V''<sup>*</sup><sub>''jk''</sub> {{=}} δ<sub>''ij''</sub>}}. Следовательно, для диагональных компонент ({{math|''i'' {{=}} ''j''}}) существует {{math|''N''}} ограничений, а для остающихся компонент — {{math|''N''(''N'' − 1)}}. Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно {{math|''N''²}}.
# Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на {{math|2''N'' − 1}}, то есть общее количество свободных переменных равно {{math|(''N''² − 2''N'' + 1) {{=}} (''N'' − 1)²}}.
# Из них {{math|''N''(''N'' − 1)/2}} — углы вращения, называемые кварковыми '''углами смешивания'''.
# Оставшиеся {{math|(''N'' − 1)(''N'' − 2)/2}} являются комплексными фазами, вызывающими [[нарушение CP-инвариантности]].

Если число поколений кварков {{math|''N'' {{=}} 2}} (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — [[угол]] смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется '''[[угол Кабиббо]]''' в честь Николы Кабиббо.

В [[Стандартная модель|Стандартной модели]] {{math|''N'' {{=}} 3}}, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

== Наблюдения и предсказания ==
[[File:Weak Decay (flipped).svg|thumb|right|300px|Диаграмма, изображающая переходы между кварками посредством слабого взаимодействия.]]
Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:
# переходы {{math|''u ↔ d''}} и {{math|''e'' ↔ ν''<sub>e</sub>''}}, {{math|μ ↔ ν<sub>μ</sub>}} имели похожие амплитуды.
# переходы с изменением странности {{math|Δ''S'' {{=}} 1}} имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности ({{math|Δ''S'' {{=}} 0}}).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания {{math|θ<sub>''c''</sub>}} (теперь называемого углом Кабиббо) между [[d-кварк|{{math|''d''}}-]] и [[s-кварк|{{math|''s''}}-кварками]], чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных [[каон]]ов уже в [[1964 год]]у, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в [[1973 год]]у Кобаяси и Маскавой. Открытие [[b-кварк|{{math|''b''}}-кварка]] в [[Фермилаб]]е (группой [[Ледерман, Леон|Леона Ледермана]]) в [[1977 год]]у немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — [[t-кварк|{{math|''t''}}-кварка]].

== Универсальность слабых переходов ==
Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

:: <math>\sum_j |V_{ij}|^2 = 1</math>

для всех поколений {{math|''i''}}. Это предполагает, что сумма всех связей кварка [[u-кварк|{{math|''u''}}]]-типа со всеми кварками [[d-кварк|{{math|''d''}}]]-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в [[1967 год]]у назвал это соотношение '''слабой универсальностью'''. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты [[SU(2)]] взаимодействуют с [[векторный бозон|векторными бозонами]] слабых взаимодействий с одинаковой [[константа Ферми|константой связи]]. Это подтверждено во многих экспериментах.

== Треугольники унитарности ==
Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

:: <math>\sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0.</math>

Для любых фиксированных и различных {{math|''i''}} и {{math|''j''}} это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого {{math|''k''}}, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Существует шесть вариантов {{math|''i''}} и {{math|''j''}}, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется '''треугольником унитарности'''. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский [[BELLE]], калифорнийский [[BaBar]] и эксперимент [[LHCb]] проекта [[LHC]].

== Параметризации ==
Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра.
Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

=== KM-параметры ===
Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла ({{math|θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, θ<sub>3</sub>}}) и фазу [[Нарушение CP-инвариантности|CP-нарушения]] ({{math|δ}}).

:: <math>\begin{bmatrix} c_1 & -s_1 c_3 & -s_1 s_3 \\
 s_1 c_2 & c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3 e^{i\delta} &  c_1 c_2 s_3 + s_2 c_3 e^{i\delta}\\
 s_1 s_2 & c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3 e^{i\delta} &  c_1 s_2 s_3 - c_2 c_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}, </math>

где {{math|θ<sub>1</sub>}} — угол Кабиббо, {{math|''c<sub>i</sub>''}} и {{math|''s<sub>i</sub>''}} — соответственно косинус и синус угла {{math|θ<sub>''i''</sub>}}.

=== «Стандартные» параметры ===
«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три [[Углы Эйлера|угла Эйлера]] ({{math|θ<sub>12</sub>}}, {{math|θ<sub>23</sub>}}, {{math|θ<sub>13</sub>}}) и фазу CP-нарушения ({{math|δ}})<ref>
{{статья
|заглавие=Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix
|издание=[[Physical Review Letters]]
|том=53
|страницы=1802
|doi=10.1103/PhysRevLett.53.1802
|bibcode=1984PhRvL..53.1802C
|номер=19
|язык=en
|тип=journal
|автор=L.L. Chau and W.-Y. Keung
|год=1984}}</ref>. Смешивание между поколениями кварков {{math|''i''}} и {{math|''j''}} исчезает, если угол смешивания {{math|θ''<sub>ij</sub>''}} стремится к нулю.
Здесь {{math|θ<sub>12</sub>}} — угол Кабиббо, {{math|''c<sub>ij</sub>''}} и {{math|''s<sub>ij</sub>''}} — соответственно косинус и синус угла {{math|θ<sub>''ij''</sub>}}.

:: <math> \begin{align} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13}e^{i\delta_{13}} & 0 & c_{13} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\
 & = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\
 -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
 s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. \end{align} </math>

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров<ref>Значения получены из значений параметров Вольфенштейна из издания ''[[Review of Particle Physics]]'' 2008 года.</ref><ref name="PDG2008"/>:
: θ<sub>12</sub> = {{val|13.04|0.05}}°,
: θ<sub>13</sub> = {{val|0.201|0.011}}°,
: θ<sub>23</sub> = {{val|2.38|0.06}}°,
: δ<sub>13</sub> = {{val|1.20|0.08}} радиана.

=== Параметры Вольфенштейна ===
Третья параметризация CKM-матрицы, введёна [[Вольфенштейн, Линкольн|Линкольном Вольфенштейном]], использует параметры {{math|λ}}, {{math|''A''}}, {{math|ρ}} и {{math|η}}<ref>
{{статья
|заглавие=Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix
|издание=[[Physical Review Letters]]
|том=51
|страницы=1945
|doi=10.1103/PhysRevLett.51.1945
|bibcode=1983PhRvL..51.1945W
|номер=21
|язык=en
|автор=L. Wolfenstein
|год=1983
|тип=journal}}</ref>. Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

: {{math|λ {{=}} ''s''<sub>12</sub>}},
: {{math|''A''λ<sup>2</sup> {{=}} ''s''<sub>23</sub>}},
: {{math|''A''λ<sup>3</sup>(ρ − ''i''η) {{=}} ''s''<sub>13</sub>e<sup>−''i''δ</sup>}}.

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка {{math|λ<sup>3</sup>}}, она может быть представлена следующим образом:
:: <math>\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
 -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
 A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1  \end{bmatrix}. </math>
CP-нарушение может быть определено измерением {{math|ρ − ''i''η}}.

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна<ref name="PDG2008">{{статья
|заглавие=Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix
|ссылка=http://pdg.lbl.gov/2008/reviews/kmmixrpp.pdf
|издание=[[Physics Letters|Physics Letters B]]
|том=667
|страницы=1—1340
|doi=10.1016/j.physletb.2008.07.018
|bibcode=2008PhLB..667....1A
|язык=en
|тип=journal
|автор=Amsler C.  (Particle Data Group) et al.
|год=2008
|archivedate=2018-12-21
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20181221023609/http://pdg.lbl.gov/2008/reviews/kmmixrpp.pdf
}}</ref>:
: {{math|λ}} = {{val|0.2257|0.0009|0.0010}},
: {{math|''A''}} = {{val|0.814|0.021|0.022}},
: {{math|ρ}} = {{val|0.135|0.031|0.016}},
: {{math|η}} = {{val|0.349|0.015|0.017}}.

== См. также ==
* [[Стандартная модель]] (основы) и [[нарушение CP-инвариантности]].
* [[Квантовая хромодинамика]], [[аромат (физика)|аромат]] и [[нарушение CP-инвариантности#Сильная CP-проблема|сильная CP-проблема]].
* [[PMNS-матрица]], аналогичная матрица смешивания для [[нейтрино]].
* [[Угол Кабиббо]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://www.ihst.ru/personal/tomilin/book/ Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах.] М.: Физматлит, 2006, 368 с, страница 153. (djvu)
* {{книга |заглавие=Introduction to Elementary Particles |ссылка=https://archive.org/details/introductiontoel0000grif_o7r4 |издательство=Wiley, John & Sons, Inc |год=1987 |id=ISBN 0-471-60386-4 |язык=und |автор=Griffiths, David J.}}
* Povh, Bogdan et al., (1995). ''Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts''. New York: Springer. ISBN 3-540-20168-8
* CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ISBN 0-521-44349-0]
* [http://pdg.lbl.gov/2004/reviews/cpviolrpp.pdf Particle Data Group on CP violation]
* The [http://www-public.slac.stanford.edu/babar/ Babar] experiment at [[SLAC]] and the [http://belle.kek.jp BELLE] experiment at [[KEK]] Japan
* [http://prola.aps.org/abstract/PRL/v10/i12/p531_1 N. Cabibbo, ''Phys. Rev. Lett.'' 10 (1963) 531.]
* [http://www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=PTPKA,49,652 M. Kobayashi and K. Maskawa, ''Prog. Theor. Phys.'' 49 (1973) 652.]{{Недоступная ссылка|date=2018-01|bot=InternetArchiveBot }}
* [https://sib.fm/news/2017/04/14/novosibirskie-fiziki-oprovergnut-treugolnost-treugolnika Новосибирские физики опровергнут треугольность идеального треугольника KEK]

[[Категория:Физика элементарных частиц]]
[[Категория:Стандартная модель]]
[[Категория:Типы матриц]]
[[Категория:Электрослабое взаимодействие]]
[[Категория:Углы|Кабиббо]]