Просмотр кода страницы GW-приближение

'''GW-приближение''' или '''приближение GW''' или '''GW-метод''' ({{Lang-en|GW approximation (GWA)}}) — это приближение, сделанное для расчёта [[Собственная энергия|собственно-энергетической части]] системы [[Многие проблемы с телом|многих частиц]] (электронов)<ref name="Hedin65">{{Cite journal|first=Lars|author=Hedin|title=New Method for Calculating the One-Particle Green's Function with Application to the Electron-Gas Problem|doi=10.1103/PhysRev.139.A796|journal=Phys. Rev.|volume=139|year=1965|pages=A796–A823|issue=3A|bibcode=1965PhRv..139..796H|url=https://lup.lub.lu.se/record/8777834}}</ref><ref name="AulburJönsson2000">{{cite book|last1=Aulbur|first1=Wilfried G.|last2=Jönsson|first2=Lars|last3=Wilkins|first3=John W.|title=Quasiparticle Calculations in Solids|journal=Solid State Physics <New York, Ny, 1955 -> : Advances in Research and Applications|volume=54|year=2000|pages=1–218|issn=0081-1947|doi=10.1016/S0081-1947(08)60248-9|series=Solid State Physics|isbn=9780126077544}}</ref><ref name="AryasetiawanGunnarsson1998">{{Cite journal|author=Aryasetiawan|first=F|title=The GW method|journal=Reports on Progress in Physics|volume=61|issue=3|year=1998|pages=237–312|issn=0034-4885|doi=10.1088/0034-4885/61/3/002|arxiv=cond-mat/9712013|bibcode=1998RPPh...61..237A}}</ref>. Приближение состоит в том, что разложение собственно-энергетической части ''Σ'' через одночастичную [[Функция Грина|функцию Грина]] ''G'' и экранированное кулоновское взаимодействие ''W'' (в единицах <math> \hbar=1</math>)

: <math>\Sigma = iGW - GWGWG + \cdots</math>

можно оборвать после первого слагаемого:

: <math>\Sigma \approx iG W</math>

Другими словами, собственно-энергетическая часть разлагается в формальный ряд Тейлора по степеням экранированного взаимодействия ''W,'' а член самого низкого порядка сохраняется в разложении в GWA.

== Теория ==
Приведенные выше формулы имеют схематический характер и показывают общую идею приближения. Точнее, если пометить координату электрона его положением, спином и временем и объединить все три в составной индекс (числа 1, 2 и т. д.), получится

: <math> \Sigma(1,2) = iG(1,2)W(1^+,2) - \int d3 \int d4 \, G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2) + ... </math>

где верхний индекс «+» означает, что временной индекс сдвинут вперед на бесконечно малую величину. GW-приближение тогда соответствует

: <math> \Sigma(1,2) \approx iG(1,2)W(1^+,2) </math>

Если заменить ''W'' на голое кулоновское взаимодействие (то есть обычное 1/r-взаимодействие), получится стандартный пертурбативный ряд для собственно-энергетической части, который можно найти в большинстве учебников, которые рассматривают многочастичные задачи. GWA с ''заменой W'' на голый кулоновский потенциал соответствует [[Метод Хартри — Фока|обменному потенциалу Хартри — Фока]] (собственно-энергетической части).

В твердотельной системе ряд для собственно-энергетической части в терминах ''W'' должен сходиться намного быстрее, чем традиционный ряд для голого кулоновского взаимодействия. Это связано с тем, что экранирование среды снижает эффективную силу кулоновского взаимодействия: например, если поместить электрон в какое-то место в материале и спросить, каков потенциал он создаёт в каком-то другом месте в материале, значение окажется меньше, чем даётся голым кулоновским взаимодействием (обратное расстояние между точками), потому что другие электроны в среде поляризуются (перемещают или искажают свои электронные состояния), чтобы экранировать электрическое поле. Следовательно, ''W'' — это меньшая величина, чем голое кулоновское взаимодействие, так что ряд по ''W'' должен иметь более быструю сходимость.

Чтобы увидеть более быструю сходимость, можно рассмотреть простейший пример с [[Электронный газ|однородным или однородным электронным газом,]] который характеризуется электронной плотностью или, что эквивалентно, средним межэлектронным расстоянием или [[Радиус Вигнера-Зейтца|радиусом Вигнера — Зейтца.]] <math> r_s </math>. Для оценки нужно выполнить следующие шаги:

* Кинетическая энергия электрона масштабируется как <math>1/r_s^2</math>
* Среднее электрон-электронное отталкивание от голого ([[Экранирование электрического поля|неэкранированного]]) кулоновского взаимодействия масштабируется как <math>1/r_s</math> (просто инверсия типичного расстояния)
* [[Диэлектрическая проницаемость]] электронного газа в простейшей [[Экранирование в модели Томаса — Ферми|модели экранирования Томаса — Ферми]] для волнового вектора <math> q </math> задаётся как

: <math> \epsilon(q) = 1 + \lambda^2/q^2</math>

где <math>\lambda</math> это экранирующее волновое число, которое масштабируется как <math> r_s^{-1/2} </math>

* Типичные волновые векторы <math>q</math> масштабируются как <math>1/r_s</math> (снова типичное обратное расстояние)
* Следовательно, типичное значение экранировки <math>\epsilon \sim 1 + r_s </math>
* Экранированное кулоновское взаимодействие равно <math> W(q) = V(q)/\epsilon(q)</math>

Таким образом, для чистого кулоновского взаимодействия отношение кулоновской энергии к кинетической имеет порядок <math>r_s</math>, что для типичного металла принимает значения 2-5 и совсем не мало: другими словами, голое кулоновское взаимодействие довольно сильно и приводит к плохому пертурбативному разложению. С другой стороны, соотношение типичного <math>W</math> кинетической энергии сильно снижается за счет экранирования и имеет порядок <math>r_s/(1+r_s)</math> который ведет себя хорошо и оказывается меньше единицы даже для больших <math> r_s </math> : экранированное взаимодействие намного слабее и с большей вероятностью даст быстро сходящийся пертурбативный ряд.

== Источники ==
* [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mv230/gw/gw.html Основные публикации по применению приближения GW] {{Wayback|url=http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mv230/gw/gw.html |date=20190204172923 }}
* [http://iopscience.iop.org/1402-4896/2005/T115/001 Изображение Ларса Хедина, изобретателя GW]
* [https://gw100.wordpress.com/ GW100] — Тестирование подхода GW для молекул.

== Рекомендации ==
{{примечания}}

== Дальнейшее чтение ==
* [https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/p174 Электронная корреляция в твердом теле, Норман Х. Марч (редактор), ''World Scientific Publishing Company'']
* {{Cite journal|first=Ferdi|author=Aryasetiawan|title=Correlation effects in solids from first principles|url=http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96909/1/KJ00004711290.pdf}}


[[Категория:Зонная теория]]
[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]