GW-приближение

GW-приближение или приближение GW или GW-метод (Шаблон:Lang-en) — это приближение, сделанное для расчёта собственно-энергетической части системы многих частиц (электронов). Приближение состоит в том, что разложение собственно-энергетической части Σ через одночастичную функцию Грина G и экранированное кулоновское взаимодействие W (в единицах $\hslash =1$)

$\mathrm{\Sigma }=iGW-GWGWG+\cdots$

можно оборвать после первого слагаемого:

$\mathrm{\Sigma }\approx iGW$

Другими словами, собственно-энергетическая часть разлагается в формальный ряд Тейлора по степеням экранированного взаимодействия W, а член самого низкого порядка сохраняется в разложении в GWA.

Теория

Приведенные выше формулы имеют схематический характер и показывают общую идею приближения. Точнее, если пометить координату электрона его положением, спином и временем и объединить все три в составной индекс (числа 1, 2 и т. д.), получится

$\mathrm{\Sigma }(1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2)+...$

где верхний индекс «+» означает, что временной индекс сдвинут вперед на бесконечно малую величину. GW-приближение тогда соответствует

$\mathrm{\Sigma }(1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)$

Если заменить W на голое кулоновское взаимодействие (то есть обычное 1/r-взаимодействие), получится стандартный пертурбативный ряд для собственно-энергетической части, который можно найти в большинстве учебников, которые рассматривают многочастичные задачи. GWA с заменой W на голый кулоновский потенциал соответствует обменному потенциалу Хартри — Фока (собственно-энергетической части).

В твердотельной системе ряд для собственно-энергетической части в терминах W должен сходиться намного быстрее, чем традиционный ряд для голого кулоновского взаимодействия. Это связано с тем, что экранирование среды снижает эффективную силу кулоновского взаимодействия: например, если поместить электрон в какое-то место в материале и спросить, каков потенциал он создаёт в каком-то другом месте в материале, значение окажется меньше, чем даётся голым кулоновским взаимодействием (обратное расстояние между точками), потому что другие электроны в среде поляризуются (перемещают или искажают свои электронные состояния), чтобы экранировать электрическое поле. Следовательно, W — это меньшая величина, чем голое кулоновское взаимодействие, так что ряд по W должен иметь более быструю сходимость.

Чтобы увидеть более быструю сходимость, можно рассмотреть простейший пример с однородным или однородным электронным газом, который характеризуется электронной плотностью или, что эквивалентно, средним межэлектронным расстоянием или радиусом Вигнера — Зейтца. $r_s$. Для оценки нужно выполнить следующие шаги:

• Кинетическая энергия электрона масштабируется как $1/r_s^2$
• Среднее электрон-электронное отталкивание от голого (неэкранированного) кулоновского взаимодействия масштабируется как $1/r_s$ (просто инверсия типичного расстояния)
• Диэлектрическая проницаемость электронного газа в простейшей модели экранирования Томаса — Ферми для волнового вектора $q$ задаётся как

$ϵ(q)=1+{\lambda }^2/q^2$

где $\lambda$ это экранирующее волновое число, которое масштабируется как $r_s^{-1/2}$

• Типичные волновые векторы $q$ масштабируются как $1/r_s$ (снова типичное обратное расстояние)
• Следовательно, типичное значение экранировки $ϵ\sim 1+r_s$
• Экранированное кулоновское взаимодействие равно $W(q)=V(q)/ϵ(q)$

Таким образом, для чистого кулоновского взаимодействия отношение кулоновской энергии к кинетической имеет порядок $r_s$, что для типичного металла принимает значения 2-5 и совсем не мало: другими словами, голое кулоновское взаимодействие довольно сильно и приводит к плохому пертурбативному разложению. С другой стороны, соотношение типичного $W$ кинетической энергии сильно снижается за счет экранирования и имеет порядок $r_s/(1+r_s)$ который ведет себя хорошо и оказывается меньше единицы даже для больших $r_s$ : экранированное взаимодействие намного слабее и с большей вероятностью даст быстро сходящийся пертурбативный ряд.

Источники

• Основные публикации по применению приближения GW Шаблон:Wayback
• Изображение Ларса Хедина, изобретателя GW
• GW100 — Тестирование подхода GW для молекул.

Дальнейшее чтение

• Электронная корреляция в твердом теле, Норман Х. Марч (редактор), World Scientific Publishing Company
• Шаблон:Cite journal