Просмотр кода страницы H∞-управление

'''H на бесконечности''' или <math>\mathcal{H}_\infty</math> — метод [[теория управления|теории управления]] для синтеза [[оптимальный регулятор|оптимальных регуляторов]]. Метод является [[Оптимизация (математика)|оптимизационным]], имеющим дело со строгим [[математика|математическим]] описанием предполагаемого поведения [[Замкнутая система (теория управления)|замкнутой системы]] и её [[Робастное управление|устойчивости]]. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и [[робастное управление|устойчивому]] управлению.

<math>\mathcal{H}</math> является нормой в [[Пространство Харди|пространстве Харди]]. «Бесконечность» говорит о выполнении [[минимакс]]ных условий в [[Частотная область|частотной области]]. <math>\mathcal{H}_\infty</math>-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае [[MIMO]]-систем она равна максимальному [[сингулярное число|сингулярному числу]] передаточной функции системы, в случае [[SISO]]-систем она равна максимальному значению амплитуды её [[частотная характеристика|частотной характеристики]].

== Постановка задачи ==
Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

[[Файл:H-infty plant representation.png]]

Объект управления <math>\ P</math> имеет два входа, два внешних воздействия <math>\ w</math>, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена <math>\ u</math>. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки <math>\ z</math>, который надо минимизировать, и измеренная переменная <math>\ v</math>, которая используется в контуре управления. <math>\ v</math> используется в ''K'' для подсчёта переменной <math>\ u</math>.

Уравнение системы:

: <math>\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}</math>

: <math>u = K(s) \, v</math>

Таким образом возможно выразить зависимость <math>\ z</math> от <math>\ w</math>:

: <math>z=F_l(P,K)\,w</math>

И далее:

: <math>F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}</math>

Таким образом, целью <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимального управления является синтез такого контроллера <math>\ K </math>, <math>\ F_l(P,K)</math>, который минимизировал бы <math>\mathcal{H}_\infty</math>-норму системы. То же относится и к <math>\mathcal{H}_2</math>-управлению. Норма на бесконечности матрицы<math>\ F_l(P,K)</math> определяется как:

: <math>||F_l(P,K)||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_l(P,K)(j\omega))</math>

где <math>\bar{\sigma}</math> — максимальное [[сингулярное число]] матрицы <math>\ F_l(P,K)(j\omega)</math>.

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в <math>\mathcal{H}_\infty</math>-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления ({{lang-en|small gain problem}})». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

: <math>min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1</math>.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей <math>\mathcal{H}_\infty</math>-управления».

== Преимущества и недостатки ==
H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:
* Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
* Простой одношаговый алгоритм.
* Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

== Свойства <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллеров ==
1. Весовая функция <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимального контроллера представляет собой [[фазовый фильтр]], то есть для наименьшего сингулярного числа системы <math>\bar{ \sigma\ }</math> выполняется соотношение:
: <math>\bar{ \sigma\ }(F_l(P,K)) = 1</math> для любого <math> \omega\ \in R</math>

2. <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимальный контроллер имеет порядок максимум <math>\ n-1 </math>, где <math>\ n </math> — порядок [[объект управления|объекта управления]].

== Условия существования <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллеров ==
Для того, чтобы существовал <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллер в стандартной задаче:

: <math>min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1</math>

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в [[пространство состояний|пространстве состояний]]:
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)</math>
{{Начало цитаты}}
Должен существовать закон пропорционального управления <math> \ F(s) = K </math> такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы <math> \ D </math> замкнутой системы удовлетворяло неравенству <math>\sigma_n\ (D) < 1</math>
{{Конец цитаты}}
2. [[Уравнение Риккати]] для [[Контроллер (теория управления)|управления]]
{{Начало цитаты}}
Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение <math> P \ge 0</math>. 
{{Конец цитаты}}
3. [[Уравнение Риккати]] для [[Наблюдатель (теория управления)|наблюдателя]]
{{Начало цитаты}}
Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение <math> S \ge 0</math>. 
{{Конец цитаты}}
4. Ограничение по собственным числам:
{{Начало цитаты}}
Наибольшее [[собственное число]] произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы:
<math>\lambda_{max}(PS) < 1</math>
{{Конец цитаты}}

== См. также ==
* [[Робастное управление]]

== Библиография ==
* Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
* R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.

[[Категория:Теория управления]]