Совершенное пространство

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множествШаблон:Sfn.

Шаблон:Iw в 1953 году доказалШаблон:Sfn, что совершенные пространства выдерживают умножение на метризуемые, т. е. имеет место следующая теорема: произведение $X\times Y$ совершенного пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ есть совершенное пространство.

ИзвестноШаблон:Sfn, что сами нормальность и наследственная нормальность не сохраняются при умножении на метризуемое пространство, однако произведение совершенно нормального пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ остаётся совершенно нормальным!

Примеры

1. Прямая $ℝ$, отрезок $𝕀$, евклидово пространство ${ℝ}^n$ и более общо — любое метризуемое пространство.
2. Плоскость Немыцкого $L$ является примером тихоновского совершенного неметризуемого пространства.

Литература

• Шаблон:Книга