Простое число Ньюмена — Шэнкса — Уильямса

Простое число Ньюмена — Шэнкса — Уильямса (NSW-простое) — простое число, которое можно записать в виде:

$S_{2m+1}=\frac{{(1+\sqrt{2})}^{2m+1}+{(1-\sqrt{2})}^{2m+1}}{2}$, где $m=0,1,2,...$.

Такие числа были впервые описаны Моррисом Ньюменом (Morris Newman), Дэниелом Шенксом и Хью Уильямсом (Hugh C. Williams) в 1981 году в результате изучения простых конечных групп с квадратным порядком.

Несколько первых NSW-простых:

7, 41, 239, 9369319, 63018038201, … (Шаблон:OEIS), соответствующих индексам 3, 5, 7, 19, 29, … (Шаблон:OEIS).

Последовательность $S$, упомянутая в формуле, может быть описана следующим рекуррентным соотношением:

$S_0=1$,

$S_1=1$,

$S_n=2S_{n-1}+S_{n-2}$, $n\ge 2$.

Первые несколько элементов последовательности: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, … Шаблон:OEIS. Каждый член этой последовательности равен половине соответствующего члена последовательности сопровождающих чисел Пелля. Эти числа появляются также в цепной дроби для $\sqrt{2}$.

Литература

• Шаблон:Статья.

Ссылки

• The Prime Glossary: NSW number

Шаблон:Rq