Интегральный косинус

Файл:Cosine integral ru.svg

График интегрального косинуса для 0 < x ≤ 8π.

Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом

$\mathrm{Ci}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

или:

$\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.

Иногда используются другие определения:

$\mathrm{Cin}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{Cin}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Ci}(x).$

Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом:

$\mathrm{Ci}(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{Ei}(ix)+\mathrm{Ei}(-ix))$

Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2\cdot 2!}+\frac{x^4}{4\cdot 4!}-\frac{x^6}{6\cdot 6!}+\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!(2n)}$

См. также

• Интегральный синус
• Интегральная показательная функция
• Интегральный логарифм

Литература

• Математический энциклопедический словарь, М. 1995, с. 238
• Шаблон:MathWorld