Цепь (алгебраическая топология)

Шаблон:Другие значения Цепь в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии — конструкция, обобщающее понятие многоугольника, используется для определения гомологий пространства и интегрирования дифференциальных форм на нём.

Определение

Криволинейным симплексом называется дважды непрерывно дифференцируемое невырожденное отображение симплекса $\gamma =[p_0,\dots ,p_n]$ в евклидовом пространстве в топологическое пространство $M$.

Цепью называется элемент свободного модуля над кольцом целых чисел, порождённого множеством симплексов данного топологического пространства, то есть формальная сумма

$\sigma =k_1{\sigma }_1+\dots +k_n{\sigma }_n,k_i\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$

Число $k_i$ называется кратностью симплекса ${\sigma }_i$. Сумма цепей определяется как сумма элементов модуля.

Граница $\partial {\sigma }_i$ криволинейного симплекса ${\sigma }_i$ определяется как образ границы симплекса ${\gamma }_i$ под действием отображения ${\sigma }_i$. На произвольные цепи граничный оператор продолжается по линейности, то есть

$\partial \sigma =k_1\partial {\sigma }_1+\dots +k_n\partial {\sigma }_n$

Связанные определения

• Цикл — это цепь, граница которой равна нулю.

Литература

• Шаблон:Книга