Теорема Фату

Предположим, что у нас есть функция $f$, аналитическая в единичном круге $\mathrm{\Delta }=\{z:|z|<1\}$. В определенных случаях необходимо установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность $\partial \mathrm{\Delta }$.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида ${\partial \mathrm{\Delta }}_r=\{z:|z|=r<1\}$. Для этого введем вспомогательную функцию $f_r(e^{i\phi })=f(r{e}^{i\phi })$. Видно, что поведение функции $f$ на $\partial \mathrm{\Delta }$ зависит от поведения семейства функций $\{f_r\}$ при $r\to 1$. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать саму теорему:

Теорема

Пусть $f$ аналитична в $\mathrm{\Delta }$ и для неё конечна норма Харди:

$\Vert f{\Vert }_{H^p}=\underset{0<r<1}{\sup }\Vert f_r{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Delta })}<\mathrm{\infty }$

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций $\{f_r\}$ к некоторой функции $f_1\in L^p(\partial \mathrm{\Delta })$.