Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи — «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами — узлы), в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно и мощности также будут одинаковыми.

Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам.

Прямое преобразование

Файл:TriangleR.png Файл:StarR.png

Рассмотрим приведенные выше схемы относительно выводов 1 и 2.

В схеме «треугольник» резистор $R_{12}$ соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами $R_{13}$ и $R_{23}$, что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям $R_1$ и $R_2$ в схеме «звезда». Отсюда следует, что:

$R_1+R_2=\frac{R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Аналогично для других пар выводов:

$R_1+R_3=\frac{R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_2+R_3=\frac{R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений $R_1$, $R_2$ и $R_3$ , получаем:

$R_1=\frac{R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_2=\frac{R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_3=\frac{R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Обратное преобразование

Решив исходную систему уравнений относительно сопротивлений $R_{12}$, $R_{13}$ и $R_{23}$ получим формулы для обратного преобразования, из «звезды» в «треугольник»:

$R_{12}=R_1+R_2+\frac{R_1\cdot R_2}{R_3}$

$R_{13}=R_1+R_3+\frac{R_1\cdot R_3}{R_2}$

$R_{23}=R_2+R_3+\frac{R_2\cdot R_3}{R_1}$

Применение

Преобразование треугольник-звезда может быть полезным для расчёта сопротивления несбалансированного моста при $\frac{R_1}{R_2}\ne \frac{R_4}{R_3}$.

Файл:BridgeR.png