Гравитационное красное смещение

Схема эффекта изменения частоты испущенного источником электромагнитных волн по мере удаления от массивных объектов

Гравитационное красное смещение — проявление эффекта изменения частоты испущенного некоторым источником света (любых электромагнитных волн) по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды и чёрные дыры; оно наблюдается как сдвиг спектральных линий в излучении источников, близких к массивным телам, в красную область спектра. Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное синее смещение.

Эффекты смещения не ограничиваются исключительно электромагнитным излучением, а проявляются во всех периодических процессах — вдали от массивного объекта де-бройлевские частоты элементарных частиц (фотонов, электронов, протонов) выше, чем на его поверхности, и все процессы идут с большей скоростью. Данный эффект является одним из частных проявлений гравитационного замедления времени.

Определение

Гравитационное красное смещение принято обозначать символом $z_G$ :

$z_G=\frac{\lambda -{\lambda }_0}{{\lambda }_0}=\frac{{\nu }_0-\nu }{\nu }$ ,

где:

$\nu$ и $\lambda$ — измеренная частота и длина волны фотона,

${\nu }_0$ и ${\lambda }_0$ — лабораторная частота и длина волны фотона.

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработке общей теории относительности (ОТО), и в слабых гравитационных полях приблизительно равно

$z_G=\frac{\phi -{\phi }_0}{c^2}=\frac{GM}{c^{2}r}-\frac{GM}{c^{2}R}$ ,

где:

$z_G$ — относительное смещение спектральных линий под влиянием гравитации,

$\phi =-\frac{GM}{R}$ и ${\phi }_0=-\frac{GM}{r}$ — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно,

$G$ — гравитационная постоянная Ньютона;

$M$ — масса гравитирующего тела,

$c$ — скорость света,

$r$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки излучения,

$R$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки наблюдения.

Для света, излучаемого на расстоянии $r$ от центра масс массивного тела и принимаемого на бесконечности ($R=\mathrm{\infty }$), гравитационное красное смещение приблизительно равно:

$z_G=\frac{GM}{c^{2}r}.$

Поскольку первая космическая скорость на расстоянии $r$ от тела массой $M$ равна

$V_I=\sqrt{\frac{GM}{r}},$ то формула для красного смещения может принять следующий вид:

$z_G=\frac{V_I^2}{c^2}.$

Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

$\frac{{\nu }_r}{{\nu }_e}=\frac{s_e}{s_r}=\frac{{\overrightarrow{u}}_r\cdot {\overrightarrow{k}}_r}{{\overrightarrow{u}}_e\cdot {\overrightarrow{k}}_e},$

где

${\nu }_r$ и ${\nu }_e$ — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,

$s_r$ и $s_e$ — собственные времена колебаний,

$u_r$ и $u_e$ — 4-скорости приёмника и источника, а

$k_r$ и $k_e$ представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала.

История

Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн фон Зольднер (1801 год) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле $E=\hslash \omega ,$ где $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика. В 2010 году физикам удалось измерить эффект замедления в лабораторных условиях.

Важные моменты

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более слабым гравитационным потенциалом, чем источник.
• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных университетах и лабораториях по всему миру.
• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.
• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса $M$, указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение

Эксперимент Паунда и Ребки 1960 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в башне Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии Шаблон:Nobr по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,57Шаблон:E.

Применение

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования GPS и ГЛОНАСС.

Связь с замедлением времени

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода времени (и, соответственно, часов) в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул общей теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты сигнала (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры) гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительной разности скорости хода часов в точках приёма и передачи.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—"сюда", мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом. Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины Шаблон:Math от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

Однако согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной мировой линии наблюдателя (в частном случае — для одной и той же точки пространства с течением времени) через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от линии к линии (от точки к точке), в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда — Ребки, или красное смещение спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой $\lambda =cT=c/\nu$, поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем координатные «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение».

В нестационарном же случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «доплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение явления красного смещения для электромагнитного излучения возникает при учёте нетривиального распространения излучения в гравитационном поле (эффекты динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма, увлечения пространства и так далее, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света), но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света $E=\hslash \omega$ в потенциальную в самой основе апеллирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Вывод на основе принципа эквивалентности

Гравитационное красное смещение является следствием принципа эквивалентности.

Рассмотрим сначала распространение фотона в однородном гравитационном поле вдоль линий напряжённости поля из точки с меньшим потенциалом гравитационного поля в точку с большим потенциалом. Согласно принципу эквивалентности, наличие гравитационного поля напряжённости $g$ в инерциальной системе отсчёта эквивалентно ускоренному движению системы отсчёта с ускорением $-g$ в отсутствие гравитационного поля. То есть в данном опыте можно заменить наличие поле тяготения предположением о движении источника и приёмника с ускорением $a=-g$, которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой $\nu$ происходит в тот момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время $\mathrm{\Delta }t=\frac{h}{c}$, когда волна достигнет приёмника, его скорость будет равна $v=g\mathrm{\Delta }t=\frac{gh}{c}$. При вычислении относительной скорости $v$ в формуле эффекта Доплера $\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=\frac{v}{c}$ скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость приёмника — в момент прихода волны. Поэтому использование этой формулы показывает, что вследствие эффекта Доплера будет наблюдаться сдвиг частоты, равный

$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=-\frac{gh}{c^2}.$

Обобщение этой формулы для случая неоднородного гравитационного поля имеет вид

$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=-\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{g(x)}{c^2}dx.$

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона $g(x)=G\frac{M}{x^2}$. Таким образом

$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=-\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{G\frac{M}{x^2}}{c^2}dx=-\frac{GM}{c^2}(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}).$

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени

Файл:Гравитационное смещение.jpg

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей.

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим $l$. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением $\overrightarrow{a}$ относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы ${\tau }_{out}={\tau }_{in}$, и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время ${\tau }_{in}$ он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как $w$, скорость самого источника в момент посылки сигнала $v.$ Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули $u$ в неподвижной системе:

$u=\frac{w+v}{1+wv/c^2}=\frac{c^2(w+v)}{c^2+wv}.(1)$

На преодоление расстояния $l$ сигнал затратит время $t,$ а приемник за это время сместится на $vt+a{t}^2/2.$ Отсюда получаем уравнение:

$ut=l+vt+a{t}^2/2,$

решив которое относительно $t,$ получим:

$t=\frac{u-v}{a}\cdot [1\pm {(1-\frac{2al}{(u-v{)}^2})}^{-1/2}]$

или приближённо:

$t=\frac{u-v}{a}\cdot [1\pm (1+\frac{la}{(u-v{)}^2}+\cdots )].$

Таким образом, приходим к двум решениям:

$t_1=-\frac{l}{u-v},t_2=2\frac{u-v}{a}+\frac{l}{u-v}.$

Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим $u$ из формулы (1) в формулу для $t$ и при этом ограничимся $w$ и $v$ столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка $w^2$ и $v^2:$

$t=\frac{l(c^2+wv)}{w{c}^2}=l(\frac{1}{w}+\frac{v}{c^2}).$

Скорость установки за время $\tau$, разделяющее посылку двух последовательных сигналов, увеличится на $a\tau$ и станет равной $v+a\tau$. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:

$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }\tau =l(\frac{1}{w}+\frac{v+a{\tau }_0}{c^2})-l(\frac{1}{w}+\frac{v}{c^2})=\frac{al{\tau }_0}{c^2},$

и в итоге

$\frac{\mathrm{\Delta }\tau }{{\tau }_0}=\frac{al}{c^2}⟺{\tau }_1={\tau }_0(1+\frac{al}{c^2}).$

Изменениями $l$ и $\tau$ (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости. Шаблон:Цитата

Для частоты получим:

$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0}=\frac{al}{c^2}⟺{\nu }_1={\nu }_0(1-\frac{al}{c^2}).$

Обозначив разность гравитационных потенциалов на поверхности звезды и поверхности Земли как $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-al,$ получим:

${\tau }_1={\tau }_0(1-\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{c^2});{\nu }_1={\nu }_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{c^2}).$

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }/c^2\ll 1$.

Литература

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. Гравитация, фотоны, часы // УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Паунд Р. В. О весе фотонов // УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья