Алгоритм Нарайаны

Алгори́тм Нарайа́ны — нерекурсивный алгоритм, генерирующий по данной перестановке следующую за ней перестановку (в лексикографическом порядке). Придуман индийским математиком Шаблон:Нп5 в XIV веке.

Если алгоритм Нарайаны применить в цикле к исходной последовательности из $n$ элементов $a_1,a_2,...,a_n$, упорядоченных так, что $a_1⩽a_2⩽...⩽a_n$, то он сгенерирует все перестановки элементов множества $\{a_1,a_2,...,a_n\}$ в лексикографическом порядке.

Другой особенностью алгоритма является то, что необходимо запоминать только один элемент перестановки.

Алгоритм

• Шаг 1: найти такой наибольший $j$, для которого $a_j<a_{j+1}$.
• Шаг 2: увеличить $a_j$. Для этого надо найти наибольшее $l>j$, для которого $a_l>a_j$. Затем поменять местами $a_j$ и $a_l$.
• Шаг 3: записать последовательность $a_{j+1},...,a_n$ в обратном порядке.

Оценка сложности

В случае перестановки, где элементы перемешаны случайным образом, сложность алгоритма практически не зависит от количества элементов. В приведённых реализациях производится в среднем 3 сравнения элементов перестановки и 2.17 обменов.

Наилучшим является случай, когда предпоследний элемент перестановки больше последнего, тогда производится 2 сравнения и 1 обмен. Худшим является случай, когда элементы перестановки отсортированы по убыванию, и, если длина перестановки равна n, то производится n+1 сравнений и n/2+1 обменов.

В целом сложность алгоритма можно оценить как O(n).

Литература

• Шаблон:Книга