Опыт Хейнса — Шокли

Установка для проведения опыта Хейнса, 1948

Форма сигнала на зонде-коллекторе. Узкий первый импульс совпадает по времени с передним фронтом импульса генератора.

Опыт Хейнса — Шокли — классический физический эксперимент, впервые доказавший существование тока неосновных носителей (дырочной проводимости в полупроводнике n-типа) в полупроводниках и позволивший измерить основные свойства дырок — скорость дрейфа и скорость диффузии. Опыт был поставлен Ричардом Хейнсом в лаборатории полупроводников Bell Labs в феврале 1948 года и теоретически объяснён Уильямом Шокли. Статья Хейнса и Шокли с описанием опыта была опубликована в 1949 году в Physical ReviewШаблон:Sfn.

Описание эксперимента

В своём первом опыте Хейнс использовал стержень из германия с электронным типом проводимости длиной 25 мм и поперечным сечением около 8 мм². Концы стержня были подключены к батарее, порождавшей в стержне ток электронов (справа налево, из минуса — в плюс). Левый по схеме скользящий контакт-зонд (аналог эмиттера точечного транзистора) был подключен к генератору коротких импульсов тока положительной полярности, правый контакт-зонд (аналог коллектора) был подключен к осциллографу, синхронизируемому генератором в ждущем режимеШаблон:Sfn.

Если бы стержень был изготовлен не из полупроводника, а из металла, то в нём бы протекал только ток электронов, и наблюдаемый на экране осциллографа импульс совпадал бы по времени с импульсом тока генератора. Но в эксперименте с германиевым стержнем на экране осциллографа наблюдалось два импульса. Первый из них, узкий импульс тока замыкания, совпадал по времени с передним фронтом импульса генератора, второй (импульс дырочного тока) значительно оставал от импульса генератора и имел размытую, колоколообразную форму. Задержка и ширина второго импульса увеличивались с ростом расстояния между зондами. При изменении полярности батареи второй (размытый) импульс не наблюдалсяШаблон:Sfn.

Шокли объяснил увиденное тем, что эмиттер инжектирует в стержень не электроны, а дырки. Инжектированные дырки дрейфуют в сторону отрицательного полюса батареи (вправо) со скоростью, прямо пропорциональной напряжённости поля в полупроводнике. Время дрейфа между двумя зондами пропрорционально расстоянию между ними. Одновременно, хаотичные тепловые перемещения дырок (диффузия) приводят к размыванию формы импульсаШаблон:Sfn. За время дрейфа группы инжектированных дырок между двумя зондами «она может распространиться по всему поперечному сечению образца и вдоль него на величину, кратную нескольким его диаметрам»Шаблон:Sfn. При изменении полярности батареи дырки движутся в сторону, противоположную коллектору (влево от эмиттера) — поэтому расположенный справа от эмиттера коллектор «не видит» импульса дырочного токаШаблон:Sfn.

Измерения, проведённые на кремнии и германии разных типов проводимости, подтвердили положение статистической физики о том, что подвижность μ (зависимость скорости дрейфа от напряжённости поля) и электронов, и дырок связана с коэффициентом диффузии D простым отношением:

D = μ (kT/q), где kT/q — электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона, и равный 25 мВ при комнатной температуре.

Шаблон:Начало цитаты Смысл его таков, что электрон, участвующий в беспорядочном тепловом движении, способен преодолеть потенциальный барьер с высотой, равной в среднем 0,025 В. Другими словами, 0,025 В — это электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона. То обстоятельство, что указанное отношение равно 0,025 В, показывает, что заряд носителей, дрейф и диффузия которых исследуются в опыте Хайнса, равен по величине заряду электронаШаблон:Sfn. Шаблон:Конец цитаты

Уравнения для токов

Чтобы увидеть эффект, рассмотрим полупроводник n-типа длиной d. Нас будут интересовать такие характеристики носителей тока как подвижность, коэффициент диффузии и время релаксации. Удобно рассматривать одномерную задачу (векторы опущены для простоты).

Уравнения для электронного и дырочного токов записываются в виде:

$j_e=-{\mu }_{n}nE-D_n\frac{\partial n}{\partial x}$

$j_p=+{\mu }_{p}pE-D_p\frac{\partial p}{\partial x}$

где j_e(p) — плотность тока для электронов (e) и дырок(p), μ_e(p) — соответствующие подвижности, E — электрическое поле, n и p — плотности носителей заряда, D_e(p) — коэффициенты диффузии, x — независимая координата. Первое слагаемое в каждом уравнении линейное по электрическому полю соответствует дрейфовой составляющей полного тока, а второе — пропорциональное градиенту концентрации — диффузии.

Вывод

Рассмотрим уравнение непрерывности:

$\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{-(n-n_0)}{{\tau }_n}-\frac{\partial j_e}{\partial x}$

$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{-(p-p_0)}{{\tau }_p}-\frac{\partial j_p}{\partial x}.$

Индекс 0 указывает равновесные концентрации. Электроны и дырки рекомбинируют с временем жизни носителей τ.

Определим

$p_1=p-p_0,n_1=n-n_0$

поэтому приведённая выше система уравнений преобразуется к виду:

$\frac{\partial p_1}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial x^2}-{\mu }_{p}p\frac{\partial E}{\partial x}-{\mu }_{p}E\frac{\partial p_1}{\partial x}-\frac{p_1}{{\tau }_p}$

$\frac{\partial n_1}{\partial t}=D_n\frac{{\partial }^2{n}_1}{\partial x^2}+{\mu }_{n}n\frac{\partial E}{\partial x}+{\mu }_{n}E\frac{\partial n_1}{\partial x}-\frac{n_1}{{\tau }_n}$

В простейшем приближении, можно считать электрическое поле постоянным между левым и правым электродами и пренебречь ∂E/∂x, однако, электроны и дырки диффундируют с разными скоростями, и материал имеет локальный электрический заряд, вызывая неоднородное распределение электрического поля, которое может быть рассчитано из закона Гаусса:

$\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{\rho }{ϵ{ϵ}_0}=\frac{e_0((p-p_0)-(n-n_0))}{ϵ{ϵ}_0}=\frac{e_0(p_1-n_1)}{ϵ{ϵ}_0}$

где ε — диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ρ — плотность заряда, и e₀ — элементарный заряд.

сделаем замену переменных:

$p_1=n_{\text{mean}}+\delta ,n_1=n_{\text{mean}}-\delta ,$

и пусть δ будет гораздо меньше, чем $n_{\text{mean}}$. Два исходных уравнений запишутся в виде:

$\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^2{n}_{\text{mean}}}{\partial x^2}-{\mu }_{p}p\frac{\partial E}{\partial x}-{\mu }_{p}E\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}-\frac{n_{\text{mean}}}{{\tau }_p}$

$\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}=D_n\frac{{\partial }^2{n}_{\text{mean}}}{\partial x^2}+{\mu }_{n}n\frac{\partial E}{\partial x}+{\mu }_{n}E\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}-\frac{n_{\text{mean}}}{{\tau }_n}$

Используя соотношение Эйнштейна $\mu =e\beta D$, где β — величина обратная произведению температуры и постояннай Больцмана, эти два уравнения можно объединить:

$\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}=D^{*}\frac{{\partial }^2{n}_{\text{mean}}}{\partial x^2}-{\mu }^{*}E\frac{\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}-\frac{n_{\text{mean}}}{{\tau }^{*}},$

где для D*, μ* and τ* справедливо:

$D^{*}=\frac{D_n{D}_p(n+p)}{p{D}_p+n{D}_n}$, ${\mu }^{*}=\frac{{\mu }_n{\mu }_p(n-p)}{p{\mu }_p+n{\mu }_n}$ and $\frac{1}{{\tau }^{*}}=\frac{p{\mu }_p{\tau }_p+n{\mu }_n{\tau }_n}{{\tau }_p{\tau }_n(p{\mu }_p+n{\mu }_n)}.$

Учитывая, n >> p или p → 0 (что справедливо для полупроводников только с малой концентрацией неосновных носителей), D* → D_p, μ* → μ_p и 1/τ* → 1/τ_p. Полупроводник ведет себя, как если бы только дырки двигались в нём.

Окончательное выражение для носителей:

$n_{\text{mean}}(x,t)=A\frac{1}{\sqrt{4\pi D^{*}t}}{e}^{-t/{\tau }^{*}}{e}^{-\frac{(x+{\mu }^{*}Et-x_0{)}^2}{4D^{*}t}}$

Его можно интерпретировать как дельта-функцию, которая создается сразу же после импульса. Дырки затем начать двигаться к противоположному электроду, где их детектируют. Сигнал при этом приоретает форму гауссиана.

Параметры Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math можно получить из анализа формы сигнала.

${\mu }^{*}=\frac{d}{E{t}_0},$

$D^{*}=({\mu }^{*}E{)}^2\frac{(\delta t{)}^2}{16t_0},$

где Шаблон:Math — расстояние дрейфа за время Шаблон:Math, и Шаблон:Math — ширина импульса.

Источники

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal