Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Неравенство Бернштейна связывает норму производной многочлена с нормой самого многочлена.

Формулировка

Пусть $f_{n}$ — вещественнозначный тригонометрический многочлен степени $n$ , тогда:

‖ {f_{n}}^{'} ‖_{\infty} ⩽ n \cdot ‖ f_{n} ‖_{\infty}

.

Неравенство с константой $2 n$ было установлено российским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Уточнение было получено Эдмундом Ландау, он доказал неравенство с оптимальной константой $n$ .
В 1914 году Марсель Рис перенёс последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства $L^{p}$ при $p ⩾ 1$ :
$‖ {f_{n}}^{'} ‖_{p} ⩽ n ‖ f_{n} ‖_{p}$ .
В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при $0 < p < 1$ .
Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

‖ {f_{n}}^{'} ‖_{p} ⩽ C (n, p) ‖ f_{n} ‖_{\infty}

.