Теорема Чаплыгина

Теоре́ма Чаплы́гина — теорема существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит С. А. Чаплыгину (1919 г.)Шаблон:Sfn. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке $x=a$: Шаблон:EF Шаблон:EF

Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи Шаблон:Eqref, понадобится ряд определений.

Определение. Шаблон:Якорь Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи Шаблон:Eqref называются соответственно функции $\underset{\_}{\omega }(x)$ и $\bar{\omega }(x)$, принадлежащие $C^1[a,b]$, и такие, что Шаблон:EF Шаблон:EF

Определение. Классическим решением задачи Шаблон:Eqref называется функция $y(x)$, принадлежащая $C^1(a,b]\cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению Шаблон:Eqref при каждом $x\in (a,b]$ и начальному условию Шаблон:Eqref.

Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее $\underset{\_}{\omega }(x)$ и верхнее $\bar{\omega }(x)$ решения задачи Шаблон:Eqref, что Шаблон:EF где $𝔅\equiv [a,b]\times [\underset{\_}{\omega }(x),\bar{\omega }(x)]$. Тогда на отрезке $[a,b]$ существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи Шаблон:Eqref, и для каждого решения этой задачи и любого $x\in [a,b]$ справедливо: Шаблон:EF

См. также

• Теорема Нагумо

Литература

• Шаблон:Книга
• Комленко Ю. В.  Теорема Чаплыгина для линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Матем. заметки, 1967, 2, № 3. — С. 301—306.
• Шаблон:Книга