Теорема Нагумо

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Митио Нагумо. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода: Шаблон:EF Шаблон:EF

Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи Шаблон:Eqref, нам понадобится ряд определений.

Пусть функция $f(x,y,z)$ определена при всех $(x,y,z)\in 𝔅\times ℝ$, где $𝔅\subset {ℝ}^2$.

Определение. Будем говорить, что функция $f(x,y,z)$ принадлежит классу функций Нагумо на множестве $𝔅$ и писать $f\in N(𝔅)$, если найдётся такая положительная непрерывная функция $\phi (u)$, что Шаблон:EF Шаблон:EF

Определение. Шаблон:Якорь Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи Шаблон:Eqref называются соответственно функции $\underset{\_}{\omega }(x)$ и $\bar{\omega }(x)$, принадлежащие $C^2(a,b)\cap C[a,b]$, и такие, что Шаблон:EF Шаблон:EF

Определение. Классическим решением задачи Шаблон:Eqref называется функция $y(x)$, принадлежащая $C^2(a,b)\cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению Шаблон:Eqref при каждом $x\in (a,b)$ и каждому из граничных условий Шаблон:Eqref.

Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее $\underset{\_}{\omega }(x)$ и верхнее $\bar{\omega }(x)$ решения задачи Шаблон:Eqref, что Шаблон:EF Шаблон:EF где $𝔅\equiv [a,b]\times [\underset{\_}{\omega }(x),\bar{\omega }(x)]$. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи Шаблон:Eqref, принадлежащее $C^2[a,b]$ и заключённое между барьерными решениями $\underset{\_}{\omega }(x)$ и $\bar{\omega }(x)$: Шаблон:EF

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.

Лемма 1. Пусть $𝔅$ — замкнутая ограниченная область на плоскости $(x,y)$ и пусть $f(x,y,z)\in C(𝔅\times ℝ)\cap N(𝔅)$. Тогда любая интегральная кривая уравнения Шаблон:Eqref, проходящая через внутреннюю точку области $𝔅$, может быть продолжена в обе стороны до границы этой области. Шаблон:Дополнить раздел

См. также

• Метод стрельбы

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка

• Шаблон:Книга

Ссылки

• А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Шаблон:Wayback
• М. Нагумо. О дифференциальном уравнении $y^{″}=f(x,y,y^{\prime })$ (перевод с немецкого).