Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя

Отражение кармана

Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — результат в комбинаторной геометрии, согласно которому многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник путём конечного числа зеркальных отражений «карманов» — связных компонентов выпуклой оболочки. На каждом шаге определяется выпуклая оболочка многоугольника, и её ребро, относительно которого осуществляется отражение. Конечный многоугольник может иметь параллельные смежные рёбра, то есть быть слабо выпуклым. Помимо отражения, карман может быть преобразован поворотом на 180° относительно центра ребра оболочки. Такое преобразование оказывается более эффективным средством достижения выпуклости многоугольника.

Гипотезу сформулировал Пал Эрдёш в 1935 году и опубликовал в журнале American Mathematical Monthly. В 1939 году Сёкефальви-Надь доказал и опубликовал теорему.

Теорема

Любой многоугольник без самопересечений может быть преобразован в слабо выпуклый конечным числом отражений карманов от ребер выпуклой оболочки.

История

Теорема имеет курьёзную историю и была неоднократно передоказана. В 1995 году Бранко Грюнбаум обнаружил в оригинальном доказательстве малозаметную ошибку, которую ему удалось устранить.

Вариации и обобщения

• Джосс и Шеннон доказали, что требуемое число отражений нельзя ограничить даже для четырехугольников. Они также дали оценку на число поворотов.
  • Любой $n$-угольник без самопересечений может быть преобразован в слабо выпуклый не более чем $(n-1)!$ поворотом карманов относительно ребер выпуклой оболочки.
    • Авторы теоремы выдвинули гипотезу, что на самом деле достаточно $\frac{1}{4}{n}^2$ поворотов. На 2013 год она не доказана.
  • Тереома Грюнбаума — Закса: Любой многоугольник может быть преобразован в слабо выпуклый конечным числом поворотов карманов относительно ребер выпуклой оболочки.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• The convexification of a simple polygon