Матрица единиц

В математике, матрица единиц — это матрица, каждый элемент которой равен единице. Примеры:

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

Свойства

Для квадратной n×n-матрицы единиц J верны следующие утверждения:

• След матрицы J равен n, а определитель равен 1 при n=1, и 0 во всех остальных случаях.
• Ранг матрицы J равен 1.
• У матрицы J только два собственных значения: n (некратное) и 0 (кратности n-1).
• $J^k=n^{k-1}J,\text{ for }k=1,2,\dots .$
• Матрица $\frac{1}{n}J$ является идемпотентной.
• Экспонента от матрицы единиц представляется в виде: $\exp (J)=I+\frac{e^n-1}{n}J.$
• J является единичным элементом относительно произведения Адамара.